三十四角形

正三十四角形：幾何学的な性質と作図

正三十四角形は、34本の辺と34個の頂点を持つ多角形です。その幾何学的な性質は、他の多角形と同様に、辺の長さ、内角、外角、対角線の本数などで特徴付けられます。

基本的な性質:

辺の数: 34
頂点の数: 34
内角の和: 5760° ( (n-2) × 180° 、n=34を代入)
対角線の本数: 527本 (n(n-3)/2 、n=34を代入)

正三十四角形:

正三十四角形は、すべての辺の長さが等しく、すべての内角が等しい特別な三十四角形です。

中心角: 10.588…° (360°/34)
外角: 10.588…° (中心角と等しい)
* 内角: 169.411…° (180° - 外角)

面積:

一辺の長さを a とすると、正三十四角形の面積 S は以下の式で表されます。

S = (34/4)a²cot(π/34) ≒ 91.72961a²

ここで、cot は余接関数、π は円周率です。この公式は、正多角形の面積計算の一般式から導き出されます。

辺の長さの表現:

正三十四角形の一辺の長さは、以下の式で表されるcos(2π/34)を用いて計算することができます。

cos(2π/34) = cos(π/17)

この値は、有理数と平方根を用いて表すことができます。計算式は複雑ですが、最終的には以下のようになります。

cos(π/17) = (1/16)(1 - √17 + √(34 - √68) + 2√(√(17 + √272) + √17 -1))

この式は、正十七角形に関する数学的知識を用いて導き出されます。

作図:

驚くべきことに、正三十四角形は定規とコンパスのみを用いて作図可能な図形です。これは、正十七角形が作図可能であることと密接に関係しています。正十七角形を作図できることから、角度を二等分することで正三十四角形を作図できます。

関連事項:

正三十四角形の性質を理解するには、正十七角形に関する知識が不可欠です。正十七角形は、正三十四角形を構成する基本的な要素であり、その幾何学的性質が正三十四角形の性質に直接影響を与えます。

まとめ:

正三十四角形は、その複雑な幾何学的性質にもかかわらず、定規とコンパスによる作図が可能な図形です。その面積や辺の長さは、三角関数や平方根を用いた複雑な式で表されますが、これらの式は、正多角形の一般式や、正十七角形に関する数学的知識を基に導き出されています。正三十四角形の研究は、多角形に関する更なる理解を深める上で重要な役割を果たしています。

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