三角関数の公式の一覧

三角関数の公式

三角関数の公式とは、角度の値に関わらず常に成り立つ恒等式のことです。幾何学、物理学、工学など、様々な分野で活用されています。この記事では、三角関数の基本的な定義から、様々な公式、そして応用例までを解説します。

角と角度の単位

この記事では、角をギリシャ文字（α、β、γ、θなど）やxで表し、角度の単位はラジアン（rad）を主に使用します。ただし、度（°）を用いる場合もあります。

1周：360° = 2πラジアン

主な角度の度とラジアンの対応は以下の通りです。

三角関数

三角関数の基本となるのは、正弦関数（sin）、余弦関数（cos）、正接関数（tan）です。これらの逆数関数は、それぞれ余割関数（csc）、正割関数（sec）、余接関数（cot）と呼ばれます。

tan θ = sin θ / cos θ
sec θ = 1 / cos θ
csc θ = 1 / sin θ
cot θ = 1 / tan θ = cos θ / sin θ

逆三角関数

三角関数の逆関数を逆三角関数といいます。例えば、逆正弦関数は arcsin x や sin⁻¹x と表記されます。三角関数は周期関数であるため、逆三角関数は多価関数となります。

sin(arcsin x) = x
arcsin(sin θ) = θ (-π/2 ≤ θ ≤ π/2)

基本的な関係式

ピタゴラスの定理やオイラーの公式などから、以下の基本的な関係式が導き出せます。

cos²θ + sin²θ = 1
sin θ = ±√(1 - cos²θ)
cos θ = ±√(1 - sin²θ)
1 + tan²θ = sec²θ
1 + cot²θ = csc²θ

関数同士の変換

上記のピタゴラスの定理を基に、三角関数を相互に変換する公式が導き出せます。これらの公式は、三角関数の値の計算や、三角関数の恒等式の証明に役立ちます。

加法定理

加法定理は、三角関数の和や差の公式として知られています。10世紀のペルシャの数学者アブル・ワファーによって最初に示されました。

sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β
cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α tan β)

倍角公式

加法定理を用いて、倍角、三倍角、半角の公式を導き出すことができます。これらの公式は、三角関数の値の計算を簡略化するために用いられます。

sin 2θ = 2 sin θ cos θ
cos 2θ = cos²θ - sin²θ = 1 - 2sin²θ = 2cos²θ - 1
tan 2θ = 2 tan θ / (1 - tan²θ)

和積公式と積和公式

加法定理を変形することで、和積公式と積和公式を導き出すことができます。これらの公式は、三角関数の積を和または差に変換したり、その逆を行う際に役立ちます。

その他の公式

この記事では、上記の公式以外にも、様々な三角関数の公式について解説しています。 例えば、回転行列の積、任意の個数の角の和の公式、チェビシェフの方法、算術平均の正接関数、ビエトの無限積、エルミートの無限積、合成公式など、多くの公式が紹介されています。それぞれの公式の導出方法や、具体的な例なども示しています。

微積分

微分積分学においては、角度はラジアンで表します。三角関数の微分と積分は、微分方程式やフーリエ解析など、様々な分野で重要な役割を果たします。

応用例

三角関数の公式は、様々な分野で応用されています。この記事では、三角関数の公式を利用した具体的な計算例や、幾何学的な問題への応用などを紹介しています。

まとめ

この記事では、三角関数の基本的な定義から様々な公式、そして応用例までを網羅的に解説しました。これらの公式を理解することで、三角関数に関する様々な問題を解決できるようになるでしょう。 さらに深く理解したい方は、関連する文献や資料を参照してください。

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