多価関数

多価関数：複数の出力を返す関係

多価関数とは、ある入力に対して、複数の出力を返す関係を指します。例えば、4の平方根は2と-2の2つの値を持ちます。これは、一つの入力値（4）に対して複数の出力値（2と-2）が対応しているため、多価関数の一例と言えます。

現代数学における関数の定義は、写像の概念に基づいており、一つの入力に対してただ一つの出力が対応することを要求します。このため、多価関数は厳密には関数の定義を満たさず、正確には「多価関数」ではなく「多価写像」または「関係」と呼ぶべきです。しかし、歴史的経緯や数学的応用の観点から、多価関数という呼称が広く用いられています。

多価関数の例

多価関数の代表的な例としては、以下のものがあります。

平方根関数: 正の実数xに対して、√xは正と負の二つの値を持ちます。0の平方根は0のみです。複素数の場合も同様で、全ての複素数には二つの平方根が存在します。
立方根関数: すべての複素数は3つの立方根を持ちます。
複素対数関数: 複素数の対数関数は無限個の値を持ちます。例えば、log(1) は 2πki (kは任意の整数) の無限個の値を持ちます。
三角関数の逆関数: 三角関数は周期関数であるため、逆関数は多価関数となります。例えば、arctan(1) はπ/4、5π/4、-3π/4 など、無限個の値を持ちます。
* ガウス関数、床関数、天井関数の逆関数: これらの関数の逆関数は整数を定義域とする無限多価関数です。

多価関数の一価化

多価関数を扱う際には、主値と呼ばれる一つの値を選択することで、一価関数として扱うことができます。例えば、arctan(x) を-π/2 < arctan(x) < π/2 の範囲に制限することで、一価関数とすることができます。これは、関数の定義域を制限することで多価関数の問題を回避する方法です。複素関数の場合、分岐点と呼ばれる点を境に範囲を制限することで、多価関数を一価関数にできます。この範囲の制限は、リーマン面という概念を用いて幾何学的に表現されます。

多価関数の数学的性質

多価関数の数学的性質は、一価関数とは異なる側面を持ちます。例えば、連続性や微分可能性については、上半連続性や下半連続性といった概念を用いて定義されます。また、可測性についても、一価関数とは異なる定義が用いられます。

多価関数の歴史

多価関数の概念は、数学の歴史において、関数の定義が明確化される過程で、徐々にその重要性が認識されてきました。20世紀前半から関数という用語から多価関数の意味が除かれるようになり、体系的な多価関数論の研究は1963年から本格化しました。

多価関数の応用

多価関数は、制御理論やゲーム理論、特に微分包含式において重要な役割を果たします。角谷の不動点定理を用いたナッシュ均衡の存在証明など、多価関数の性質を利用することで、問題の解決に役立ちます。

また、物理学の分野でも、ディラックの磁気モノポール、結晶中の格子欠陥、超流動や超伝導における渦など、多価関数の概念が広く用いられています。これらはゲージ場の構造と密接に関係しています。

まとめ

多価関数は、現代数学の関数の厳密な定義からは逸脱しますが、数学、物理学、工学など様々な分野で重要な役割を果たしています。主値を用いた一価化や、多価関数の性質を適切に扱うことで、多くの問題を解決することができます。その数学的性質の理解は、応用範囲の広がりと共に益々重要になってきています。

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