回転行列

回転行列：幾何学的変換の表現

線形代数において、回転行列はユークリッド空間における原点を中心とした回転変換を表現する行列です。2次元や3次元の回転は、幾何学、物理学、そしてコンピュータグラフィックスにおいて頻繁に用いられています。本記事では、これらの回転行列の性質、導出、そして様々な表現方法について解説します。

回転行列の定義

n次元空間における回転行列 R は、実数を成分とする n 次の正方行列であり、以下の2つの条件を満たします。

1. 直交行列: 転置行列が逆行列と等しい (tR = R⁻¹)。これは、回転によってベクトルの長さが変化しないことを意味します。
2. 行列式が1: (det R = 1)。これは、回転によって空間の向きが反転しないことを意味します。

これらの条件を満たす n 次元回転行列の集合は、特殊直交群 SO(n) と呼ばれる群を形成します。

2次元回転行列

2次元ユークリッド空間において、原点を中心とした反時計回りの θ 回転は、以下の行列で表現されます。


R(θ) = cos θ, -sin θ], [sin θ, cos θ


この行列は、点 (x, y) を (x', y') に変換する際に、次の関係式を満たします。


[x'] = R(θ)[x]
y'


これは、三角関数の加法定理を用いることで幾何学的に導き出すことができます。回転角が -θ の場合、逆回転となり、以下の行列となります。


R(-θ) = cos θ, sin θ], [-sin θ, cos θ


また、2次元回転行列は行列の指数関数を使って以下のように表現することもできます。


R(θ) = exp(θ0, -1], [1, 0)

3次元回転行列

3次元空間では、x軸、y軸、z軸周りの回転はそれぞれ以下の行列で表現されます。

x軸周りの回転:

Rx(θ) = 1, 0, 0], [0, cos θ, -sin θ], [0, sin θ, cos θ

y軸周りの回転:

Ry(θ) = cos θ, 0, sin θ], [0, 1, 0], [-sin θ, 0, cos θ

z軸周りの回転:

Rz(θ) = cos θ, -sin θ, 0], [sin θ, cos θ, 0], [0, 0, 1


これらの回転は、それぞれ直交座標系の軸を回転させる方向を定義します。例えば、Rx(θ) はy軸をz軸に向けて回転させます。

オイラー角

3次元空間における任意の回転は、x軸、y軸、z軸周りの回転の組み合わせで表現できます。この回転角の組をオイラー角といいます。例えば、xyz系のオイラー角(α, β, γ)による回転は、以下の行列で表現されます。


Rz(γ)Rx(β)Ry(α)

オイラー角の表現方法は複数存在し、座標軸の回転順序によって行列の積の順番が異なります。

任意軸周りの回転

任意の単位ベクトル n を回転軸、θ を回転角とする回転は、ロドリゲスの回転公式で記述できます。


Rₙ(θ) = cosθI + (1-cosθ)nnᵀ + sinθN

ここで、I は単位行列、N は n から作られる反対称行列です。この行列は複雑な構造を持ちますが、任意のベクトル r への作用は以下のように簡潔に表現できます。


Rₙ(θ)r = rcosθ + n( n⋅r )(1-cosθ) + (n×r)sinθ

ケーリー・クラインのパラメータ

ケーリー・クラインのパラメータは、回転行列を4つの複素数 α, β, γ, δ (β=γ, δ=α*) を用いて表現する手法です。この表現は、回転をコンパクトに表現するのに有用です。回転行列Rは、これらのパラメータを用いて以下のようになります。
(※具体的な行列式は、元の文章を参照ください)

このパラメータを用いることで、回転行列の計算を簡略化することができます。

まとめ

本記事では、回転行列の定義から、2次元、3次元での回転行列、オイラー角、任意軸周りの回転、ケーリー・クラインのパラメータによる表現方法までを解説しました。回転行列は、コンピュータグラフィックスや物理シミュレーションなど、様々な分野で応用されています。これらの概念を理解することで、より高度な計算やシミュレーションが可能になります。

もう一度検索