上方集合

順序集合における上方集合と下方集合の概念

数学の分野では、順序集合と呼ばれる構造が広く用いられています。順序集合は、元の集合とその間に定義された順序のペアで表されます。これに基づき、上方集合と下方集合という重要な概念が存在します。

上方集合とは

上方集合は、部分集合 S ⊆ X が、X の元に対して特定の条件を満たす時において定義されます。具体的には、S の任意の元 s があって、X の元 x が s より大きい場合、すなわち s < x であれば、x もまた S の元である必要があります。このように、上方集合とは、ある元より大きな全ての元がその集合に含まれる状態を指します。

この条件を満たす部分集合を上方集合と呼びます。また、上方集合の全ての元は、その集合において小さい元を持たないという性質もあります。

下方集合の定義

下方集合は、上方集合の定義に似ていますが、逆の条件が適用されます。部分集合 L ⊆ X において、L のいずれかの元 l に対し、X の任意の元 x が l より小さい場合、x も L の元である必要があります。すなわち、x ≤ l ならば、x ∈ L でなければなりません。このようにして、下方集合も定義され、和訳では「始切片」とも呼ばれます。

性質

上方集合と下方集合は、いくつかの興味深い性質を持っています。
1. 自己包含性: 任意の順序集合自体は、その順序集合における上方集合です。
2. 共通部分: 複数の上方集合の共通部分もまた上方集合です。
3. 補集合: 上方集合の補集合は下方集合であり、逆もまた真です。

このように、上方集合と下方集合は互いに関連しながら機能しています。

上方集合と下方集合の閉包

上方閉包および下方閉包という概念も重要です。特に、元 x が持つ上方閉包は、その元 x より大きい全ての元の集合であり、下方閉包はその逆においてしるし表示されます。また、部分集合 A に関しても、上方閉包 A↑と下方閉包 A↓と表され、A の元すべての上方または下方を考慮した集合を生成します。

関連用語

• - シングルトン: 単一の元から構成される集合は、特にその上方閉包を考慮した場合、principal（単項的）と呼ばれます。
• - 順序イデアル: 上有向下方集合は「順序イデアル」と呼ばれ、特に注目される概念です。

もし順序集合が降鎖条件を満たす場合、上方集合全体と反鎖の関係は非常に興味深いものとなります。これにより全単射の関係が導かれ、それぞれの集合間に一対一の対応関係が生まれます。

順序数と集合論

順序数の概念も、上方集合と密接に関連しています。すなわち、順序数は通常、それより小さい順序数全てによる集合として定義されます。これにより、順序数は自然にその下方集合における特徴を表す形となります。

関連項目

• - 抽象単体的複体: 包含関係によって下方に閉じている集合の族。
• - 共終集合: 任意の元に対して、特定の条件を持つ集合についての議論も交えられます。

数学において上方集合と下方集合の考え方は非常に基礎的かつ重要であり、様々な理論で応用されています。これらの概念を深く理解することで、順序集合の性質やその特性をよりよく理解できるでしょう。

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