主成分分析

主成分分析 (Principal Component Analysis; PCA)

主成分分析（PCA）は、多くの相関変数から相関のない少数の主成分を抽出し、データのばらつきを表す多変量解析の一つです。この手法は、主にデータの次元削減や観察されたデータセットの可視化に利用されます。

主成分の定義と特性

主成分は、観測データの分散を最大限に表現する新しい変数です。この新しい変数は、第一主成分から始まり、次に続く主成分は前の主成分と直交するように選ばれます。直交性を持たせることで、情報の重複を避け、各主成分が持つ独立した情報を確保します。この主成分は観測データの線型結合として表現できるため、主成分ベクトルは観測値の基底として機能します。主成分の直交性は、すなわち共分散行列の固有ベクトルであることからも導かれます。

分析手法

主成分分析は、観測データの共分散行列や相関行列に対して固有値分解または特異値分解を用いて行なわれます。その結果、主成分得点（因子得点）や主成分負荷量（因子負荷量）を得ることができます。主成分得点とは、個々の観測データが主成分ベクトルのどの程度寄与しているかを示す指標であり、主成分負荷量は、主成分に対する各観測値の重みを示します。

応用と利点

主成分分析は、探索的データ解析において広く使われており、各種の予測モデルの構築にも利用されています。また、高次元データを扱う際に、次元の削減を通じてデータの可視化を行うことも可能です。ツールやプログラミングパッケージでは、主成分分析を実行するための機能が用意されており、多くの場合、特定のアルゴリズムによって結果が導き出されます。

ヒストリカルバックグラウンド

主成分分析は1901年にカール・ピアソンによって初めて提唱され、その後、1930年代にハロルド・ホテリングによって名称が定義されました。これ以降、主成分分析は多くの応用分野で用いられるようになりました。

結論

主成分分析は、そのシンプルさと効率性から、データの特徴や構造を理解するために非常に有用な手法です。次元削減によって、ノイズの影響を抑えつつ重要な情報を抽出し、データ分析を行うことが可能となるため、小さなデータセットから有用な洞察を得ることを目指す場合に特に役立ちます。このように、PCAは統計的手法の中で非常に重要な位置を占めています。

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