線型結合

線型結合：ベクトルの組み合わせと線型代数の基礎

線型結合は、線型代数学における中心的な概念です。簡単に言うと、複数のベクトルそれぞれをスカラー倍し、それらの結果を足し合わせることで得られる新たなベクトルを指します。この操作は、ベクトル空間の構造を理解する上で非常に重要であり、線型独立性、線型従属性、そして部分空間の生成といった様々な概念と密接に関連しています。

線型結合の定義

例えば、2次元ベクトル空間において、ベクトル v = (2, 3) と w = (1, 2) を考えます。これらの線型結合は、一般的に次のように表せます。

`av + bw = a(2, 3) + b(1, 2) = (2a + b, 3a + 2b)`

ここで、a と b は任意のスカラー（実数など）です。a と b に異なる値を代入することで、様々なベクトルを作り出すことができます。例えば、a = 2, b = 3 とすると、(7, 12) というベクトルが得られます。

より一般的には、n 個のベクトル v₁, v₂, ..., v_n と n 個のスカラー k₁, k₂, ..., k_n を用いて、線型結合を次のように定義します。

`k<sub>1</sub>v<sub>1</sub> + k<sub>2</sub>v<sub>2</sub> + ... + k<sub>n</sub>v<sub>n</sub>`

この式は、ベクトル v₁, v₂, ..., v_n の線型結合であり、k₁, k₂, ..., k_n を係数と呼びます。係数は 0 や負の値でも構いません。

線型独立と線型従属

n 個のベクトルが線型独立であるとは、それらの線型結合がゼロベクトルになる場合に、全ての係数が 0 である場合に限ることを意味します。言い換えれば、どのベクトルも他のベクトルの線型結合で表現できない場合です。逆に、少なくとも一つの係数が 0 でない場合にゼロベクトルが表現できる場合、それらのベクトルは線型従属です。

例えば、ベクトル (1, 0) と (0, 1) は線型独立です。一方、(1, 0), (0, 1), (1, 1) は線型従属です。(1, 1) は (1, 0) と (0, 1) の線型結合で表現できるためです。

部分空間の生成

ベクトル空間の部分集合 S = {v₁, v₂, ..., v_n} を考えます。S の元を係数とベクトルを用いた全ての線型結合からなる集合を span(S) と表記し、S が生成する部分空間と呼びます。これは、S を含む最小の部分線型空間となります。S が線型独立であれば、S は span(S) の基底となり、span(S) の次元は S の元の個数に一致します。

アフィン結合、錐結合、凸結合

線型結合の係数に制限を加えることで、アフィン結合、錐結合、凸結合といった関連概念を定義できます。

アフィン結合: 係数の和が 1 となる線型結合。
錐結合: 係数が非負となる線型結合。
* 凸結合: 係数が非負であり、かつ係数の和が 1 となる線型結合。

これらの結合によって閉じている集合は、それぞれアフィン部分集合、凸錐、凸集合と呼ばれ、線型部分空間を一般化した概念です。

一般化

線型結合の概念は、環上の加群など、より一般的な代数構造にも拡張できます。また、位相線型空間では、無限個のベクトルの収束する線型結合も考えることができます。

まとめ

線型結合は、一見シンプルな概念ですが、線型代数学の基礎をなす重要な概念です。線型独立性、線型従属性、部分空間の生成、さらにはアフィン結合、錐結合、凸結合といった関連概念を理解することは、線型代数学を深く理解する上で不可欠です。

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