固有値分解

固有値分解：行列を簡潔に表現する手法

線形代数学において、固有値分解 (Eigendecomposition) は行列をより単純な表現に変換する強力なツールです。この手法は、行列の固有値と固有ベクトルという固有の性質に着目することで、複雑な行列演算を容易にします。

固有値分解とは？

簡単に説明すると、固有値分解とは、正方行列Aを、正則行列Pと対角行列Λを用いて、A = PΛP⁻¹ のように分解することです。ここで、Λの対角成分は行列Aの固有値λ₁, λ₂, ..., λdに対応し、Pの列ベクトルはAに対応する固有ベクトルになります。この分解は、行列Aが対角化可能な場合にのみ可能です。

数学的に表現すると、d×d行列Aに対して、

A ∈ M_d(K)

となるK（体は実数体または複素数体）が存在する場合、正則行列Pと対角行列Λが存在し、以下の式が成り立ちます。

A = PΛP⁻¹

ここで、Λの対角成分はAの固有値λ₁, λ₂, ..., λdであり、

Λ = diag(λ₁, λ₂, ..., λd)

となります。この時、Aは対角化可能であると言われます。

しかし、全ての行列が固有値分解できるわけではありません。行列が固有値を持つこと、そしてそれらの固有ベクトルが線形独立であることが必要です。例えば、回転[[行列]]は実数の固有値を持たないため、実数体上では固有値分解できません。また、固有値を持っていても、固有ベクトルの数が行列のサイズに満たない場合（つまり、固有ベクトルが線形独立でない場合）も、固有値分解はできません。これは、行列が対角化不可能であることを意味します。

d×d行列Aが対角化可能であるための必要十分条件は、Aの固有ベクトルがK^dの基底をなすことです。つまり、一次独立なd個のAの固有ベクトル（v₁, v₂, ..., v_d）が存在する必要があります。

固有値分解の利点と応用

固有値分解は、様々な場面で強力なツールとなります。主な利点として以下が挙げられます。

1. 行列の冪乗計算の簡略化: 行列Aのn乗(Aⁿ)の計算は、直接計算すると非常に複雑になります。しかし、固有値分解を用いると、Aⁿ = PΛⁿP⁻¹と簡単に計算できます。Λは対角行列なので、Λⁿは各対角要素をn乗するだけで計算できます。

2. 行列の指数関数の計算: 行列の指数関数e^Aは、無限級数で定義されます。しかし、固有値分解を用いれば、e^A = Pe^ΛP⁻¹と計算できます。e^Λは、Λの対角要素をそれぞれ指数関数に適用するだけで計算可能です。これは、微分方程式の解法など、多くの応用において非常に重要です。

これらの計算の簡略化に加え、固有値分解は、画像処理、機械学習、量子力学など、幅広い分野で応用されています。例えば、主成分分析（PCA）は、データの次元削減に用いられる手法ですが、これは固有値分解に基づいて行われます。

まとめ

固有値分解は、線形代数学における重要な概念であり、行列の性質を理解し、複雑な計算を簡略化する上で非常に役立ちます。ただし、全ての行列が固有値分解できるわけではないことに注意が必要です。行列が対角化可能であるかどうかの判定は、固有値分解を行う上で重要なステップとなります。 固有値分解は、数学的な理論だけでなく、工学的な応用においても重要な役割を果たしています。その応用範囲は広く、今後も発展が期待される分野です。

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