主束
数学における主束（しゅそく、principal bundle）は、特定の群の作用を持つ特別な種類のファイバー束です。これは、多様体の接空間における基底の集まりである枠束（frame bundle）の概念を抽象化し、一般化したものとして導入されました。
ファイバー束とは、大まかに言えば、ある空間（底空間）の各点の上に別の空間（ファイバー）が貼り付けられてできた空間です。主束の特徴は、そのファイバーが、構造群Gと呼ばれるある位相群の主等質空間（principal homogeneous space、G-トルソとも）となっていることです。主等質空間とは、群Gが自由かつ推移的に作用する集合のことで、G自身と同相ですが、自然な単位元を持たないため群構造は持ちません。つまり、主G束のファイバーは、Gの作用によって一つの要素が決まればファイバー全体の要素が決まる、Gと同じ「構造」を持つ集合であると言えます。これは、枠束のファイバー（接空間の順序付き基底全体）に一般線形群GL(n,R)が推移的に作用するという性質を抽象化したものです。
より厳密に言うと、主G束とは、ファイバー束 $\pi: P \to X$ と、位相群 $G$ による連続な右作用 $P \times G \to P$ の組であり、この作用が $P$ の各ファイバーを保ち、その上で自由かつ推移的であるものを指します。この定義において、束 $P$ は全空間と呼ばれ、$X$ は底空間と呼ばれます。$G$ の作用による $P$ 内の軌道は、ちょうどファイバー $\pi^{-1}(x)$（$x \in X$）と一致し、軌道空間 $P/G$ は底空間 $X$ と同相になります。滑らかな多様体の圏では、PとXは滑らかな多様体、Gはリー群、そして作用は滑らかであることが要求されます。
主束は、位相幾何学や微分幾何学において中心的な役割を果たします。特に、多様体上の様々な幾何学的構造を記述するために用いられます。また、物理学においては、場の量子論や素粒子物理学の基礎となるゲージ理論の数学的な枠組みとして不可欠な概念です。構造群Gを持つ任意のファイバー束は、ある主G束から構成することができ、逆にその主束によって元の束を再構成できるという意味で、主束はファイバー束理論全体に統一的な視点を提供しています。
主束の具体的な例をいくつか挙げましょう。
主束の性質として特に重要なのは、その自明性、すなわち積空間と同型であるか否かです。一般のファイバー束では、束の自明性と大域的な切断（底空間の各点にファイバーの点を対応させる写像で、大域的に定義されるもの）の存在は必ずしも同値ではありません（例えば、ベクトル束は自明か否かに関わらず零切断を持ちます）。しかし、主束においては、大域的切断が存在することと、その主束が自明であることは同値です。この性質は主束の解析において非常に強力な道具となります。
この自明性と切断の関係は局所的にも成り立ちます。底空間の開集合U上で主束が局所的に自明であることと、U上の局所的切断が存在することは同値です。局所的切断 $s: U \to P$ が与えられると、その切断と構造群Gの作用を用いて、U上の局所的自明写像 $\Phi: \pi^{-1}(U) \to U \times G$ を $\Phi^{-1}(x,g) = s(x) \cdot g$ として構成できます。この対応は一対一であり、定義される局所的自明性はG同値（ファイバーの主等質空間としての構造を保つ）になります。異なる局所的切断の間には、構造群Gの値をとる推移関数（transition function）によって関係付けられます。
滑らかな多様体上の滑らかな主束 $\pi: P \to X$ については、構造群GのPへの作用が滑らかで、自由かつ固有（コンパクト集合の逆像がコンパクトになる）であるという性質を持ちます。このとき、軌道空間 $P/G$ は滑らかな多様体となり、底空間 $X$ と微分同相になります。実際、この性質（滑らかな多様体PとX、リー群G、滑らかで自由かつ固有な右作用P×G→P）は、滑らかな主束を特徴づけるものとして知られています。
主束のもう一つの重要な概念は、構造群の縮小（reduction of the structure group）です。主G束Pに対して、構造群Gの閉部分群Hを考えます。もし、Pの中にファイバーをHの主等質空間とするような主H束となる部分束が存在する場合、構造群GをHに縮小できると言います。これは、例えば多様体の枠束（構造群GL(n,R)）を考えたときに、特定の性質を持つ部分群（例：O(n)やGL(k,R)）に構造群が縮小できるかどうかが、多様体がリーマン計量を持つか、k次元超平面場を持つか、といった幾何学的構造の存在に対応するという形で現れます。特に、構造群を単位元に縮小できることと、主束に大域的切断が存在すること、すなわち主束が自明であることは同値です。枠束が構造群を単位元に縮小できる場合、その多様体は平行化可能と呼ばれます。
最後に、主束と他のファイバー束との関係について触れます。主G束Pと、構造群Gの線型表現Vが与えられたとき、これらの情報から同伴ベクトル束（associated vector bundle） $E = P \times_G V$ を構成することができます。これは、直積空間 $P \times V$ を、Gの対角作用 $(p,v) \cdot g = (p \cdot g, g^{-1} \cdot v)$ による軌道空間として定義されるベクトル束です。もしGのV上での表現が忠実（単射）であり、したがってGが一般線形群GL(V)の部分群と見なせるならば、ベクトル束Eは構造群Gを持つ束であり、主束PはEの枠束の構造群GL(V)を部分群Gに縮小したものと考えることができます。このように、主束は様々な種類のファイバー束、特にベクトル束を理解するための基本的な構成要素となっています。主束の理論は、現代数学と理論物理学における多くの分野で不可欠なツールとして活用されています。
ファイバー束とは、大まかに言えば、ある空間（底空間）の各点の上に別の空間（ファイバー）が貼り付けられてできた空間です。主束の特徴は、そのファイバーが、構造群Gと呼ばれるある位相群の主等質空間（principal homogeneous space、G-トルソとも）となっていることです。主等質空間とは、群Gが自由かつ推移的に作用する集合のことで、G自身と同相ですが、自然な単位元を持たないため群構造は持ちません。つまり、主G束のファイバーは、Gの作用によって一つの要素が決まればファイバー全体の要素が決まる、Gと同じ「構造」を持つ集合であると言えます。これは、枠束のファイバー（接空間の順序付き基底全体）に一般線形群GL(n,R)が推移的に作用するという性質を抽象化したものです。
より厳密に言うと、主G束とは、ファイバー束 $\pi: P \to X$ と、位相群 $G$ による連続な右作用 $P \times G \to P$ の組であり、この作用が $P$ の各ファイバーを保ち、その上で自由かつ推移的であるものを指します。この定義において、束 $P$ は全空間と呼ばれ、$X$ は底空間と呼ばれます。$G$ の作用による $P$ 内の軌道は、ちょうどファイバー $\pi^{-1}(x)$（$x \in X$）と一致し、軌道空間 $P/G$ は底空間 $X$ と同相になります。滑らかな多様体の圏では、PとXは滑らかな多様体、Gはリー群、そして作用は滑らかであることが要求されます。
主束は、位相幾何学や微分幾何学において中心的な役割を果たします。特に、多様体上の様々な幾何学的構造を記述するために用いられます。また、物理学においては、場の量子論や素粒子物理学の基礎となるゲージ理論の数学的な枠組みとして不可欠な概念です。構造群Gを持つ任意のファイバー束は、ある主G束から構成することができ、逆にその主束によって元の束を再構成できるという意味で、主束はファイバー束理論全体に統一的な視点を提供しています。
主束の具体的な例をいくつか挙げましょう。
- - 枠束: 滑らかなn次元多様体M上の枠束FMは、各点x上のファイバーが接空間 $T_xM$ の順序付き基底全体の集合であるような束です。これは主GL(n,R)束であり、構造群GL(n,R)がファイバーの基底変換として作用します。リーマン多様体上の正規直交枠束は、構造群として直交群O(n)を持つ主束の例です。
- - 被覆空間: 底空間Xの正則被覆空間は、ある群（底空間の基本群を割った群）を構造群とする主束と見なせます。特に、普遍被覆空間は底空間の基本群を構造群とする主束です。
- - リー群とその剰余類: リー群Gとその閉部分群Hに対し、G自体は左剰余類空間G/H上の主H束となります。
- - ホップ束: 射影空間上の主束はホップ束として知られています。例えば、n次元球面 $S^n$ は実射影空間 $\mathbb{RP}^n$ 上の主O(1)束（O(1)は$\mathbb{Z}_2$と同型）であり、複素球面 $S^{2n+1}$ は複素射影空間 $\mathbb{CP}^n$ 上の主U(1)束、四元数球面 $S^{4n+3}$ は四元数射影空間 $\mathbb{HP}^n$ 上の主Sp(1)束です。これらは、単位球面上への群作用によって得られる重要な例です。
主束の性質として特に重要なのは、その自明性、すなわち積空間と同型であるか否かです。一般のファイバー束では、束の自明性と大域的な切断（底空間の各点にファイバーの点を対応させる写像で、大域的に定義されるもの）の存在は必ずしも同値ではありません（例えば、ベクトル束は自明か否かに関わらず零切断を持ちます）。しかし、主束においては、大域的切断が存在することと、その主束が自明であることは同値です。この性質は主束の解析において非常に強力な道具となります。
この自明性と切断の関係は局所的にも成り立ちます。底空間の開集合U上で主束が局所的に自明であることと、U上の局所的切断が存在することは同値です。局所的切断 $s: U \to P$ が与えられると、その切断と構造群Gの作用を用いて、U上の局所的自明写像 $\Phi: \pi^{-1}(U) \to U \times G$ を $\Phi^{-1}(x,g) = s(x) \cdot g$ として構成できます。この対応は一対一であり、定義される局所的自明性はG同値（ファイバーの主等質空間としての構造を保つ）になります。異なる局所的切断の間には、構造群Gの値をとる推移関数（transition function）によって関係付けられます。
滑らかな多様体上の滑らかな主束 $\pi: P \to X$ については、構造群GのPへの作用が滑らかで、自由かつ固有（コンパクト集合の逆像がコンパクトになる）であるという性質を持ちます。このとき、軌道空間 $P/G$ は滑らかな多様体となり、底空間 $X$ と微分同相になります。実際、この性質（滑らかな多様体PとX、リー群G、滑らかで自由かつ固有な右作用P×G→P）は、滑らかな主束を特徴づけるものとして知られています。
主束のもう一つの重要な概念は、構造群の縮小（reduction of the structure group）です。主G束Pに対して、構造群Gの閉部分群Hを考えます。もし、Pの中にファイバーをHの主等質空間とするような主H束となる部分束が存在する場合、構造群GをHに縮小できると言います。これは、例えば多様体の枠束（構造群GL(n,R)）を考えたときに、特定の性質を持つ部分群（例：O(n)やGL(k,R)）に構造群が縮小できるかどうかが、多様体がリーマン計量を持つか、k次元超平面場を持つか、といった幾何学的構造の存在に対応するという形で現れます。特に、構造群を単位元に縮小できることと、主束に大域的切断が存在すること、すなわち主束が自明であることは同値です。枠束が構造群を単位元に縮小できる場合、その多様体は平行化可能と呼ばれます。
最後に、主束と他のファイバー束との関係について触れます。主G束Pと、構造群Gの線型表現Vが与えられたとき、これらの情報から同伴ベクトル束（associated vector bundle） $E = P \times_G V$ を構成することができます。これは、直積空間 $P \times V$ を、Gの対角作用 $(p,v) \cdot g = (p \cdot g, g^{-1} \cdot v)$ による軌道空間として定義されるベクトル束です。もしGのV上での表現が忠実（単射）であり、したがってGが一般線形群GL(V)の部分群と見なせるならば、ベクトル束Eは構造群Gを持つ束であり、主束PはEの枠束の構造群GL(V)を部分群Gに縮小したものと考えることができます。このように、主束は様々な種類のファイバー束、特にベクトル束を理解するための基本的な構成要素となっています。主束の理論は、現代数学と理論物理学における多くの分野で不可欠なツールとして活用されています。
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