ゲージ理論

ゲージ理論入門

ゲージ理論は、物理現象を記述する強力な数学的枠組みであり、現代物理学の多くの分野で中心的な役割を果たしています。電磁気学から素粒子物理学、一般相対性理論まで、幅広い現象を統一的に記述する上で不可欠な理論です。

ゲージ理論の基礎概念

ゲージ理論の核心は、ゲージ不変性という概念にあります。これは、物理系の記述において、ある種の変換（ゲージ変換）を行っても、物理現象自体は変化しないという性質です。この冗長な自由度を表現するために「ゲージ」という用語が使われます。ゲージ変換はリー群をなし、これをゲージ群と呼びます。

ゲージ群の生成子に対応して、ゲージ場と呼ばれるベクトル[[場]]が導入されます。このゲージ場は、局所変換の下でのラグランジアンの不変性（ゲージ不変性）を保証する役割を担います。ゲージ場を量子化することで得られる粒子がゲージボゾンです。

ゲージ群が非可換な場合、非可換ゲージ理論と呼ばれ、素粒子物理学の標準模型などがその代表例です。標準模型では、電磁相互作用、弱い相互作用、強い相互作用を統一的に記述するために、U(1)×SU(2)×SU(3)というゲージ群が用いられています。

ゲージ理論の歴史

ゲージ変換の自由度を持った最初の理論は、マクスウェルによる1864年の電磁場の公式です。しかし、この概念の重要性は長く認識されませんでした。

ワイルは一般相対論と電磁気学を統一しようと試み、スケール変換（ゲージ変換）の不変性を提案しましたが、これは量子力学の発展により、U(1)ゲージ対称性（位相の変更）へと修正されました。これが、電荷を持った量子力学的な粒子の波動関数として電磁場を説明する最初のゲージ理論となりました。

1954年、楊振寧とミルズは、核子の強い相互作用を説明するために、U(1)対称性を一般化した非可換ゲージ理論（ヤン＝ミルズ理論）を提唱しました。これは標準模型の基礎となる重要な理論です。

数学におけるゲージ理論

1970年代以降、ゲージ理論は数学においても重要な役割を果たすようになりました。アティヤ、ドナルドソン、フリードマンらの研究は、4次元微分可能多様体の分類に新たな視点を与え、ゲージ理論の数学的構造への関心を高めました。さらに、サイバーグとウィッテンによる超対称性に基づくゲージ理論的手法は、トポロジー的不変量の計算を可能にしました。

ゲージ場と対称性

ゲージ理論では、大域対称性と局所対称性が重要な概念となります。大域対称性は時空のすべての点で同一の変換の下での不変性を意味する一方、局所対称性は時空の各点で異なる変換が許されることを意味します。局所対称性を要求することで、系に強い制約が課せられ、ゲージ場が必然的に導入されます。

ゲージ理論は、ファイバーバンドルを用いて記述することもできます。ファイバーバンドルは、時空の各点にリー群のファイバーを付加した幾何学的構造であり、ゲージ変換はファイバー上の変換として解釈できます。

ゲージ場のダイナミクス

ゲージ場のダイナミクスは、ヤン＝ミルズラグランジアンによって記述されます。このラグランジアンは、ゲージ場とその曲率（場の強さ）を含む項から構成され、ゲージ不変性を満たします。ヤン＝ミルズラグランジアンは、ゲージボゾンの自己相互作用を含んでおり、非可換ゲージ理論における重要な特徴です。

ゲージ理論の物理実験への応用

ゲージ理論は、物理実験の結果をモデル化するために用いられます。実験の設定条件と整合性を持つ物理系の構成を制限し、可能な出力の確率分布を計算することで、実験結果を予測します。ゲージ理論の計算では、ゲージ固定（ゲージの自由度を固定すること）が必要となることが多く、その方法は理論の解の妥当性に影響を与えるため注意が必要です。

場の量子論におけるゲージ理論

場の量子論におけるゲージ理論は、古典的な連続体理論と類似した議論から出発します。しかし、ゲージ変換による冗長な自由度を扱う方法に重要な違いがあります。場の量子論では、ゲージ固定やファデエフ・ポポフゴースト場の導入、BRST量子化などの手法を用いて、ゲージ不変性を維持しながら計算を進めます。

まとめ

ゲージ理論は、現代物理学の基礎をなす重要な理論体系です。その数学的構造の深さと、物理現象の記述における有効性から、今後も様々な分野で発展していくことが期待されます。この概要が、ゲージ理論への理解の助けになれば幸いです。

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