乗法群

乗法群の概念と群スキームについて

数学の分野、特に群論や代数幾何学において、乗法群（multiplicative group）は非常に重要な役割を果たします。この概念は、体や環などの代数構造における可逆元が乗法のもとで形成する群を指します。具体的には、体 F について考えると、この乗法群はすべての非ゼロ元から構成されます。つまり、乗法群は以下のように表されます：

$$ ext{乗法群} = ext{F} ackslash ext{ extbraceleft} 0 ext{ extbraceright}, imes$$

ここで、「0」は体 F の零元であり、演算「×」は体の乗法を示します。

1 の冪根の群スキーム

乗法群にさらに深く触れるためには、「1 の n 乗根の群スキーム」（group scheme of n-th roots of unity）について考えることが必要です。この群スキームは、群スキームとして定義され、要するに乗法群 GL(1) に対する n 乗写像の核となります。具体的には、任意の整数 n (n > 1) において、単位元とともに n 乗をとる射を考え、スキーム論の観点から適切なファイバー積をとります。最終的に得られる群スキームは「μn」と表記されます。

体 K 上で考える場合、この群スキームが被約スキームを生成することと、K の標数が n で割り切れないことが等価であることが知られています。これにより、非被約スキーム、即ち構造層に冪零元を持つスキームの一部の重要な例が示されます。例えば、任意の素数 p においては、p 個の元からなる有限体上の μp が該当します。

この現象は、代数幾何学におけるさまざまな理論を理解するための鍵となっています。とりわけ、標数 p のアーベル多様体の双対理論（Pierre Cartier による理論）において、この群スキームが持つ意義は非常に重要です。また、群スキームのガロワコホモロジーは、クンマー理論の表現とも関連しています。

例：整数の乗法群

それでは、具体的な例を見てみましょう。n を法とする整数の乗法群は、以下のように表されます：

$$rac{ ext{Z}}{n ext{Z}}$$

この場合、可逆元が乗法において構成される群が形成されます。ただし、n が素数でない時は、0 の他にも可逆でない元が存在することに注意が必要です。こうした構造を理解することで、数学のより複雑な現象や理論についてより良い理解が得られるでしょう。

参考文献

• - Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. Algebras, rings and modules. Volume 1. Springer, 2004. ISBN 1-4020-2690-0

関連項目

• - 加法群
• - Multiplicative group of integers modulo n

乗法群や群スキームに関する理解は、数学的な理論の根底をなす要素であり、さらなる研究を続ける価値がある分野です。

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