可逆元

可逆元（単元）についての解説

可逆元、または単元とは、代[[数学]]において、ある代数系における乗法について逆元を持つ元を指します。一般的に、元が他の元と組み合わせて冪等元を生む場合、その元は可逆とみなされます。可逆元の研究は、群や環の構造の理解において重要な役割を果たします。

定義

一般に、半群 S の元 a が右可逆元であるとは、S の元 b と冪等元 e が存在して、

$$
ab = e
$$

となる時に言います。また、左可逆元の場合は、S の元 c と冪等元 e′ が存在して、

$$
ca = e′
$$

が成り立つ場合を指します。元 a が冪等元 e に対して、両方の可逆元であれば、a は e に対する可逆元とされます。

特に、単位的半群の場合、その単位元に対する可逆な元は左単元または右単元と呼ばれます。また、可逆元の概念は、特定の条件を満たす半群においては同じ意味を持つため、これにより数学的な議論が一層洗練されます。

半群 S が、その全元が左可逆元または右可逆元である場合、S を左可逆半群または右可逆半群と呼ぶことがあります。さらに、ある条件を満たす場合、任意の元が一意の逆元を持つ逆半群や、特定の計算方法が適用できる左群または右群など、可逆性に基づくさらなる分類が行われます。

環の単元群

環においても可逆元の概念が適用されます。環は半群の性質を持つため、環が単位的であれば、その可逆元は単位的半群の一部となります。この場合、単位的環 R の単元の集合は、R の単元群と呼ばれることがあり、一般に U(R) または R× として表現されます。

可除環は、単元群が R の非零元全体に一致する条件に該当します。また、任意の単位的環 R と S の間で、単位的環準同型 f: R → S が存在する場合、単元群の間には群準同型 U(f): U(R) → U(S) があります。この結果、単位的環の圏から群の圏への函数としての性質を持つことができます。

例

具体的な例として、有理数環 Z の単元は ±1 です。また、n を法とする整数の剰余類環 Z/nZ の単元は、n と互いに素な整数に基づく剰余類に該当します。任意の単位的環において、1 の冪根は単元であることが知られています。

さらに、代数体の整数環 R においては、ディリクレの単数定理により、R の単元群は有限生成アーベル群であるとされています。具体例として、Q[√5] の整数環において (√5 + 2)(√5 − 2) = 1 という関係が見られ、ここでは単元群が無限群となります。このように、1 の冪根や特定の元の条件により、可逆元はその環の特徴付けに寄与します。

最後に、体 F 上の n 次正方行列環 M(n, F) の単元は正則行列に相当します。これにより、可逆元の概念は代数の様々な分野で広がりを持っています。

もう一度検索