二十三角形

二十三角形

二十三角形は、23本の辺と23個の頂点を持つ多角形です。その内角の総和は3780度、対角線の数は230本になります。多角形の一種として、幾何学において重要な図形です。

正二十三角形

正二十三角形は、全ての辺の長さが等しく、全ての角の大きさが等しい二十三角形です。正二十三角形の中心角と外角は共に 15.652…度となり、内角は164.347…度になります。

一辺の長さを a とすると、正二十三角形の面積 S は以下の式で表されます。

S = (23/4)a²cot(π/23) ≒ 41.83436a²

この式において、cot(π/23) は、π/23 の余接を表します。この面積の計算には三角関数の知識が必要となります。

正二十三角形に関する幾何学的な性質は、三角関数、特にπ/23 の三角関数値を用いて記述されます。cos(2π/23) の値は、11次方程式を解くことで冪根を用いて表現できます。

cos(2π/23) の表現

z¹¹ = 1 の複素数解の一つを σ = e^(2πi/11) と定義します。ここで、i は虚数単位です。この σ を用いて、cos(2π/23) は、10個の値 λ₁, λ₂, ..., λ₁₀ を用いた以下の式で表現できます。

cos(2π/23) = (λ₁ + λ₂ + ... + λ₁₀ - 1) / 22

λ₁, λ₂, ..., λ₁₀ は、ある10次多項式に σ を代入した値の11乗根です。それぞれのλᵢ は非常に複雑な式で表され、σのべき乗を含む項から構成されます。これらの式は、具体的な計算にはコンピュータを用いることが推奨されます。

これらのλᵢ の具体的な式は、非常に複雑で長いため、ここでは省略します。これらの式を導出するには高度な代数学の知識が必要となります。

正二十三角形の作図

正二十三角形は、定規とコンパスのみを用いた作図が不可能です。これは、23がフェルマー素数ではないためです。また、折り紙による作図も不可能であることが証明されています。

関連事項

二十三角形の性質を理解するには、以下の項目に関する知識が役立ちます。

1の冪根
11角形
三角関数
代数学

二十三角形は、一見単純な図形に見えますが、その幾何学的性質を完全に理解するには、高度な数学の知識が必要となる複雑な図形です。

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