二十九角形

二十九角形：29本の辺を持つ多角形

二十九角形は、平面上に29本の直線で囲まれた多角形です。29個の頂点と29個の角を持ち、その内角の和は(29-2)×180°=4860°となります。また、頂点同士を結ぶ対角線の数は、n(n-3)/2の公式から計算でき、二十九角形の場合は377本となります。

正二十九角形：特別な性質

正二十九角形は、すべての辺の長さが等しく、すべての内角の大きさが等しい正多角形です。中心角と外角は360°/29°≒12.413°となり、内角は180° - 12.413° ≒167.586°となります。

一辺の長さをaとすると、正二十九角形の面積Sは以下の式で表されます。

S = (29/4)a²cot(π/29) ≒ 66.66265a²

この式からもわかるように、正二十九角形の面積は一辺の長さの2乗に比例します。

cos(2π/29)の冪根表示

正二十九角形の幾何学的性質を考える上で重要なのが、cos(2π/29)の値です。この値は、驚くべきことに、七次方程式と二次方程式を解くことで冪根（根号を使った表現）で表すことができます。

まず、z⁷=1の複素数解σ, σ², σ³, σ⁴, σ⁵, σ⁶ を用いて、以下の式が成り立ちます。

cos(2π/29) = (λ₁ + √(λ₁²-4λ₅))/4

ここで、λ₁, λ₂, λ₃, λ₄, λ₅, λ₆, λ₇ は、以下の式で定義される値です。これらの式は、σを用いた複雑な計算によって導き出されます。

λ₁ = (-1 + u₁ + u₂ + u₃ + u₄ + u₅ + u₆)/7
λ₂ = (-1 + u₁σ⁶ + u₂σ⁵ + u₃σ⁴ + u₄σ³ + u₅σ² + u₆σ)/7
λ₃ = (-1 + u₁σ⁵ + u₂σ³ + u₃σ + u₄σ⁶ + u₅σ⁴ + u₆σ²)/7
λ₄ = (-1 + u₁σ⁴ + u₂σ + u₃σ⁵ + u₄σ² + u₅σ⁶ + u₆σ³)/7
λ₅ = (-1 + u₁σ³ + u₂σ⁶ + u₃σ² + u₄σ⁵ + u₅σ + u₆σ⁴)/7
λ₆ = (-1 + u₁σ² + u₂σ⁴ + u₃σ⁶ + u₄σ + u₅σ³ + u₆σ⁵)/7
λ₇ = (-1 + u₁σ + u₂σ² + u₃σ³ + u₄σ⁴ + u₅σ⁵ + u₆σ⁶)/7

さらに、u₁, u₂, u₃, u₄, u₅, u₆ は、以下の式で表される複雑な式です。これらの式は、σと係数を使った計算で求められます。

これらの式は非常に複雑で、手計算で求めるのは困難です。コンピュータによる数値計算を用いることで、cos(2π/29)の近似値を得ることができます。

作図可能性

正二十九角形は、定規とコンパスのみを用いた作図が不可能です。また、折り紙による作図も不可能であることが知られています。これは、29が2のべき乗と異なるフェルマー素数でないためです。

まとめ

二十九角形、特に正二十九角形は、その幾何学的性質や作図可能性において、数学的に興味深い図形です。cos(2π/29)の冪根表示は、その複雑さゆえに、数学の高度な概念を理解する上で重要な例題となっています。この値の算出には高度な数学的知識と計算能力が必要であり、現代のコンピュータ技術なしでは容易に解くことはできません。 正二十九角形の研究は、代数学、幾何学、そして計算機科学といった様々な分野にまたがる深い考察を促すものです。

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