二次関数

二次関数の概要

二次関数は、次数が2の多項式によって形成される関数を指します。一般に、次の形で表現されます。

$$
f(x) = ax^2 + bx + c \, (a
eq 0)$$

ここで、$a$, $b$, $c$は実数の定数であり、$x$は実数の変数です。この関数が描くグラフは、平面上で放物線の形を取り、数学や物理学などのさまざまな分野で広く利用されています。

定義と形

二次関数は、特に$x$を独立変数とする際に次のように定義されます。

$$
f(x) = ax^2 + bx + c \, (a
eq 0)$$

特に、$b = 0$かつ$c = 0$のとき、この関数は「二乗に比例する関数」として知られています。

標準形と因数分解形

二次関数は、標準形や因数分解形としても表現されます。標準形は次のようになります。

$$
f(x) = a \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a}$$

この形では、二次関数の頂点の座標を簡単に求めることができます。具体的には、

$$(x, y) = \left(-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2 - 4ac}{4a}\right)$$

また、因数分解形は次のように表されます。

$$
f(x) = a(x - s)(x - t)$$

ここで、$s$と$t$は関数の根（x軸との交点）です。

表現形式の特徴

一般形で表現される二次関数は、多項式として扱う際に便利ですが、標準形や因数分解形は、それぞれ異なる特性を強調します。特に、標準形で表された場合、放物線の軸は$x = p$となり、頂点の座標は$(p, q)$になります。因数分解形では、$s$と$t$が実数の場合、グラフはx軸と交わり、$s = t$の場合はx軸に接します。

応用

二次関数は、解析幾何学や物理学の様々な問題において重要な役割を果たします。たとえば、放物運動や最適化問題の解析において、その特性を理解することは非常に有用です。二次関数の根や頂点、軸の位置を知ることで、放物線の性質を深く理解できるようになります。

関連項目

• - 写像：関数の定義や性質を考える上での基本的な概念
• - グラフ：関数の視覚的表現
• - 多項式：次数が異なる様々な形式の関数を含む
• - 二次方程式：二次関数が0になる点を求めるための方程式
• - 放物線：二次関数のグラフの形状
• - 一次関数：基本的な線形関数の一種

二次関数は、数学のさまざまな場面で出会う重要な概念です。

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