二重確率行列

二重確率行列の概要

二重確率行列とは、確率論や組合せ論の文脈で登場する行列の一種です。この行列は、各行および各列の合計が1になる非負の実正方行列を指します。数学的には、行列\( A = (a_{ij}) \) が二重確率行列であるためには、次の条件を満たす必要があります。

\[
\sum_{i} a_{ij} = 1, \quad \sum_{j} a_{ij} = 1
\]

この性質により、二重確率行列は左確率的であり、同時に右確率的な要件を持ちます。すなわち、行の数と列の数が等しい正方行列である必要があります。

バーコフ多面体とバーコフ＝フォン・ノイマンの定理

次に、n × n の二重確率行列の集合は「バーコフ多面体」と呼ばれる凸多面体として知られています。この多面体は、デカルト座標系の下で n^2 次元ユークリッド空間のある次元のアフィン部分空間に含まれ、行列の要素が0以上1以下であるという条件が反映されています。

バーコフ＝フォン・ノイマンの定理では、バーコフ多面体はすべての n × n 置換行列の凸包であることを示しています。この定理によると、バーコフ多面体の頂点はすべて、正しい置換行列に対応しています。

シンクホーンの定理

シンクホーンの定理は、任意の厳密に正な成分を持つ行列が、適切な対角行列を用いて二重確率行列に変換できることを示しています。この定理は、二重確率行列を構成する上で非常に重要な情報を提供します。

特に、n = 2 の場合、すべての二重確率行列はユニタリ型および直交型確率行列であることが判明しています。しかし、n が3以上になると、この性質は必ずしも成り立たなくなります。

Van der Waerdenの予想

さらに、Van der Waerden はすべての n × n 二重確率行列における最小の永久式について言及しました。彼の予想によれば、最小の永久は次の式で表されるものとされています。

\[
\frac{n!}{n^n}
\]

この最小値は、行列のすべての成分が 1/n である二重確率行列によって実現されると考えられています。この予想の証明は、1980年の B. Gyires や1981年の G. P. Egorychevおよび D. I. Falikman らによってなされました。この業績により、Egorychev と Falikman は1982年にファルカーソン賞を受賞しました。

まとめ

二重確率行列は、数学において重要な役割を果たし、様々な理論や実用的な応用に広く利用されています。特に、組合せ論や確率論の問題に取り組む際に、基本的な工具となるため、その理解は非常に重要です。

もう一度検索