二項式

二項式の概要

代数学において、二項式とは二つの単項式の和で構成される多項式の一種です。二項式は単項式に次いで基本的な形態であり、さまざまな数学的操作に利用されます。

定義

二項式は、通常、単一の変数xに関連する形で表されます。この場合、以下の式が成り立ちます:

$$
a x^m - b x^n$$

ここで、a、bは定数で、m、nは異なる自然数です。また、ローラン多項式の文脈においては、冪指数が負の整数である場合も考慮され、それに対応するローラン二項式も定義されます。

さらに、一つ以上の変数を持つ多変数の二項式については、次のように書かれることがあります:

$$
a x_1^{n_1} imes ext{...} - b x_1^{m_1} imes ext{...}$$

ここで、各xは異なる変数を表し、それぞれに対応する冪が指定されています。具体的な例としては:

1. $3x - 2x^2$
2. $xy + yx^2$
3. $0.9x^3 + ext{π}y^2$

これらの式はすべて二項式です。

二項式の演算

たとえば、二項式 $x^2 - y^2$ は、二つの二項式の積に因数分解できます。具体的には、次の式が成り立ちます:

$$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$$

さらに、一般的な形として多項式の差が次のように表現されます:

$$x^{n+1} - y^{n+1} = (x - y) imes extstyle{iggackslash}{}iggoldsymbol{iggackslashiggiggackslashiggiggackslashiggiggackslashigg}\sum_{k=0}^{n} x^{k}y^{n-k}$$

また、複素数係数の多項式においては、異なる形の因数分解も成り立ちます。たとえば、

$$x^2 + y^2 = (x - iy)(x + iy)$$

さらに、二つの一次二項式の積は以下のように表現できます:

$$(ax + b)(cx + d) = acx^2 + (ad + bc)x + bd$$

これにより、三項式が得られます。

二項定理

二項式 $x + y$ の n乗である $$(x + y)^n$$ は、展開する際に二項定理やパスカルの三角形を用いて計算することができます。具体的には、二項式の平方は次のように表されます:

$$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$$

この式から得られる係数 (1, 2, 1) は二項係数であり、パスカルの三角形からも確認できます。同様に、n段目の数を使ってn乗の展開も容易に求められます。

ピタゴラスの関係性

二項式の平方に関連して、ピタゴラスの三つ組を生成するために次の公式が使われることがあります:

$$a = n^2 - m^2, b = 2mn, c = n^2 + m^2$$

このとき、$a^2 + b^2 = c^2$ が成り立ちます。

立方の和と差

立方の和または差に関連する二項式は、次のように因数分解できます:

1. $$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$$
2. $$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$$

以上が二項式の基本的な理解のための情報です。二項式は数学の多くの分野で重要な役割を果たしており、理解しておくことが大切です。

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