単項式

単項式とは

数学における単項式（たんこうしき、英: monomial）とは、多項式を構成する最も基本的な要素であり、一つの項のみで構成される式です。多項式は複数の単項式が足し合わされたものと考えることができます。

定義

単項式は、変数の冪積（べきせき、power product）と係数と呼ばれる定数との積として表されます。変数は文字（例：x, y, z）で表され、冪積とは、これらの変数を非負整数の指数で累乗したものの積を意味します。係数は、変数にかかる定数部分で、複素数などを含む様々な値をとり得ます。例えば、`−7x⁵` や `(3 − 4i)x⁴yz¹³` は単項式の例です。

定数も変数部分が1（x⁰など）とみなすことで、単項式の一種として扱われます。通常、多項式における変数の指数は非負整数に限られますが、ローラン級数やピュイズー級数のように、特定の文脈においては負の整数や有理数を指数に含むこともあります。また、係数を考慮しない変数部分のみを指して「単項式」と呼ぶ場合もあります。例えば、`xᵃyᵇzᶜ` （a, b, cは非負整数）のような表現です。

単項式の基底

単項式は多項式を構成する基本的な要素として重要な役割を果たします。特に、多項式の集合は単項式を基底とするベクトル空間とみなすことができます。これは、任意の多項式が単項式の線形結合で表せるということを意味します。例えば、体 K 上の変数 X₁, …, Xₙ の多項式全体は、K[X₁, …, Xₙ] と表され、単項式の全体がこの空間の基底をなします。特に、一変数 X の多項式全体 K[X] の基底は、単項式列 `1, X, X², …, Xᵏ, …` で与えられます。

単項式の総数

変数を持つ単項式の総数は、変数の数と次数によって決定されます。n 個の変数を持つ d 次の単項式の総数は、n 個の変数から d 個の元を選ぶ重複組み合わせの総数に等しく、多重集合係数 `((n),(d))` で表されます。この値は、`((n),(d)) = (n+d-1 choose d)` という二項係数で計算でき、また、`1/(n-1)! (d+1) (d+2) … (d+n-1)` のように、d についての n-1 次の多項式としても表現できます。

例えば、3変数 (n=3) の d 次の単項式の数は `1/2 (d + 1)(d + 2)` であり、三角数の列 1, 3, 6, 10, 15, … を形成します。ヒルベルト級数は、与えられた次数の単項式の数をコンパクトに表現するための便利な方法であり、n 変数の d 次単項式の数は `1/(1-t)^n` の形式的べき級数展開の次数 d の係数として得られます。

単項式の表記法

偏微分方程式論などでは、単項式を簡潔に表現するために多重指数記法が用いられます。多重指数 `α = (a, b, c)` に対して、`x^α = x₁ᵃ x₂ᵇ x₃ᶜ` のように表すことで、式をコンパクトに記述することができます。

単項式の次数

単項式の次数は、変数のすべての冪指数の和として定義されます。例えば、`xᵃyᵇzᶜ` の次数は `a + b + c` となります。`xyz²` の次数は `1 + 1 + 2 = 4` です。定数項の次数は 0 と定義されます。単項式は斉次多項式であり、次数は全次数とも呼ばれます。

単項式の次数は、多項式の次数や斉次多項式の概念を定義したり、グレブナー基底を計算する際に使用する次数付き単項式順序を構成するために重要な役割を果たします。また、多変数のテイラー展開において項をまとめる際にも暗黙的に用いられています。

単項式の幾何

代数幾何学においては、多重指数 α の集合に対して単項式方程式系 `x^α = 0` で定義される代数多様体は、斉次性の特別な性質を持ちます。これは、代数群の言葉で、代数トーラスの群作用の存在（または対角行列の乗法群の作用）として表現できます。このような研究を行う分野はトーラス多様体論またはトーラス埋め込み論と呼ばれています。

単項式は、数学の多くの分野で基本的な構成要素として使用されており、その理解は高度な数学の学習において不可欠です。

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