仕事算

仕事算について

仕事算（しごとざん）は、初等数学の中でよく扱われる文章題の一形態です。この問題形式は、特定のペースで作業を進める人々が集まって共同作業を行う際に、その作業が完了するまでに必要な時間を求めるものです。生活の中で実際に目にするシチュエーションでもあるため、理解がしやすいという特徴があるのです。

概要

仕事算では、異なるペースで作業を行う人々が共同で作業をする場面を考えます。作業全体を1単位と考えると、各人の所要時間を最小公倍数に設定することで、分数を用いずに計算できるようにします。この計算方法は、与えられた問題の種類によってさまざまな変化が生じます。例えば、作業する人や仕事の性質が異なる場合、あるいは作業を「負」にする者がいる場合などです。負の仕事が含まれる場合には、一般的にはニュートン算のカテゴリに分類されることが多いですが、例外も存在します。

また、協力した際の作業の所要時間は、参加者の所要時間の調和平均として求められるため、計算方法も知っておく必要があります。仕事算と同様の考え方を使う問題として、出会い算も存在します。これは2人が協力して一定の距離を往復する問題として扱えるため、ニュートン算との関連が強いです。さらに、仕事算と類似した「水槽算」という問題もあります。これは、管が水を出し入れする量についての計算を考慮したもので、作業の性質は異なりますが、基本的な考え方は共通しています。

例題と解法

例えば、二人の掃除担当者がいる場合を考えてみましょう。Aさんが部屋の掃除を終えるのに3時間かかり、Bさんは2時間かかります。AさんとBさんが一緒に掃除を行った場合に、掃除を終えるまでにどれくらいの時間がかかるのでしょうか？

解法

一般的な解法の流れは次の通りです。まず、Aさんの1時間に掃除する量を1とし、その場合、Aさんは1時間に
1×3=3の仕事をこなすことになります。次に、Bさんの1時間の作業量は、掃除の時間を3で割った値、すなわち3÷2=1.5となります。これを合計すると、AとBの合計の作業速度は1 + 1.5 = 2.5となります。
このペースで3の作業を行うためにかかる時間は、3 ÷ 2.5 = 1.2時間、すなわち1時間12分です。

誤った解法として、単純に3時間と2時間の算術平均をとって「2時間30分」としてしまうことが多いです。実際には、Aさんの能力により、2時間で仕事を終える可能性があるため、この方法は適切ではありません。Bさんを基準にすることも可能で、この場合は同じく、3の掃除を郵便して求めます。

別解として、仕事を1とすると、Aさんの時間当たりの仕事量は1/3、Bさんは1/2となり、A及びBでは1/3 + 1/2 = 5/6の仕事をすることができます。それでは、1÷(5/6) = 1.2（時間）で終えることが分かります。この計算では、明らかに調和平均が使用されています。

仕事全体を6（2と3の最小公倍数）と見なすと、Aさんは1時間に2、Bさんは1時間に3の仕事を行います。両者で1時間に5の仕事をするとし、作業を6÷5=1.2時間、つまり1時間12分で終えられることが分かります。

まとめ

仕事算は、効率的な作業の協力について考えるための優れた方法であり、さまざまなバリエーションがあります。他の問題形式と同じように、基礎をしっかり理解することが、「解の探求」の役に立つでしょう。

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