最小公倍数

最小公倍数とは

最小公倍数（さいしょうこうばいすう、英: least common multiple）とは、0ではない複数の整数のうち、最も小さい自然数である公倍数を指します。この概念はL.C.M.やlcmなどの略称で表されることも多いです。

定義

2つ以上の整数$a_1, a_2, ext{...}, a_n$の最小公倍数は、これらの整数の公倍数の中で最も小さい正の整数として定義されます。具体的には、各整数を素因数分解した際に得られる素数の指数を用いて計算されます。たとえば、12と16の最小公倍数は48です。これは以下のように示されます：

• - $12 = 2^2 imes 3^1$
• - $16 = 2^4$
• - 最小公倍数 $L = 2^4 imes 3^1 = 48$

様々な特性

公倍数は最小公倍数の倍数でもあります。この特性を証明するために、最小公倍数を$l$、他の公倍数を$m$とすると、次のような関係が成り立ちます。

$$m = ql + r \, (0 < r < l)$$

ここで、$r$は任意の公倍数の定義を満たすはずですが、$0 < r < l$となると最小公倍数より小さい結果になります。したがって$r$は0のみを取ります。これより、$m = ql$となり、$m$は最小公倍数の倍数であることが確認できます。

最大公約数との関係

正整数$a$と$b$に対して、最大公約数$ ext{gcd}(a, b)$と最小公倍数$ ext{lcm}(a, b)$の間には次の関係式が成り立ちます：

$$ ext{gcd}(a, b) imes ext{lcm}(a, b) = a imes b$$

ただし、この関係式は二つの整数に対してのみ成り立ちます。三つ以上の整数に関しては一般的には成立しません。たとえば、$a=2, b=6, c=15$の場合を考えると、$ ext{gcd}(a, b, c) = 1$であり、$ ext{lcm}(a, b, c) = 30$ですが、$abc = 180$となります。

多項式の最小公倍数

多項式においても最小公倍数の概念が存在します。0でない公倍数の中から最も次数の低いものを最小公倍数と呼びます。例えば、$x^3 - x$と$x^3 + x^2 - x - 1$の最小公倍数は$x(x+1)^2(x-1)$となります。重要なのは、多項式の最小公倍数は定数倍を考慮しない場合に一意に決まる点です。

参考文献

高木貞治著『初等整数論講義第2版』共立出版、1971年、を参考にしました。

関連項目

• - 公約数
• - 公倍数
• - 最大公約数
• - 多項式

このように最小公倍数は数や多項式の間の重要な関係を示す概念であり、数学や数理的な解析において基本的な役割を果たします。これを理解することで、整数論や多項式に関する問題へのアプローチがスムーズになることでしょう。

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