付値体

付値体とは

付値体（ふちたい、英: valued field）は、特定の乗法付値を持ち、それにより得られる距離に対して位相を持つ体を指します。一般的に、体 K に乗法付値 |b7| がある場合、これを用いて (K, |b7|) という形で表現します。この付値体にはアルキメデス付値体と非アルキメデス付値体の2種類があり、それぞれに特有の性質があります。

アルキメデス付値体と非アルキメデス付値体

付値 |b7| がアルキメデス付値である場合、(K, |b7|) をアルキメデス付値体と呼び、そうでない場合は非アルキメデス付値体と呼びます。特に、アルキメデス付値体としての実数体や複素数体は有名ですが、非アルキメデス付値体の一例として、p進付値を持つ有理数体 b7Q における (Q, |b7|_p) があります。

離散付値体

離散付値体は、乗法付値が離散的である場合の付値体です。このような体においては、付値環 O と付値イデアル b7p が定義され、特定の素元や近傍系が存在します。この体に割り当てられる近傍系は、0 近傍とも呼ばれます。

完備化の概念

付値体における数列がコーシー列である場合、任意の正数 ε に対して、N が存在し、N より大きい任意の整数 m, n に対してその距離が ε より小さくなることを示します。もし任意のコーシー列が K 内の点に収束するなら、K は完備であると言います。特に、実数体や複素数体は完備体とされますが、p進体のように完備ではない付値体もあります。

ヘンゼルの補題

非アルキメデス付値体が完備である場合、ヘンゼルの補題という有用な命題が成立します。この補題は、付値環 R における多項式の可約性を確かにするために利用されます。具体的には、特定の条件下で多項式が可約であることを示します。

付値体の特徴と応用

付値体は数論や代数幾何学において重要な役割を果たします。特に、p進体などの非アルキメデス付値体は数論的構造を持ち、多くの場合、代数的整数論や代数幾何学における証明に利用されます。

参考文献

• - ブルバキ, N.著、中沢英昭訳『ブルバキ数学原論 可換代数3』
• - ノイキルヒ, J.著、足立恒雄監修『代数的整数論』

付値体は数論的な設定において有用であり、これに基づく理論を理解することで、より深い数学の洞察を得ることができます。

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