付値

付値の概念とその応用

付値（ふち、英: valuation）は、数学の分野において環と順序付けられた加群の間に特定の写像を設定する概念です。付値は、加法付値と乗法付値に分類され、特に加法付値は代数的な観点から重要な役割を果たします。

加法付値の定義

付値は単位元 1 を持つ環 R と順序加群 G に対する写像 v: R → G ∪ {∞} で、以下の三つの条件を満たす必要があります。これらの条件は付値がどのように機能するかを規定します。

1. v(1) = 0, v(0) = ∞
2. 任意の元 x, y に対して、v(xy) = v(x) + v(y) が成り立つ。
3. 任意の元 x, y に対して、v(x + y) ≥ min(v(x), v(y)) が成り立つ。

これにより、付値は環の元に対して数値的な「重み」や「価値」を割り当てることができます。

この  には「∞」という元が含まれ、これは G には属さない特別な要素として扱われます。

加法付値の例

1 を含む環 R に対して、特定の条件を満たす素イデアルが存在する場合、本来の加法付値が一つ以上定義できるとされます。さらに、実数体の場合には、加法付値の特例として、自明な加法付値が存在します。

例えば、素数 p と0でない有理数 a に対して以下のように定義した場合、得られる v は有理数体の加法付値となり、「p-進加法付値」と呼ばれます。

さらに、代数体の素イデアルを考慮することで、より一般的な形での加法付値を定義することも可能です。

付値環とその性質

体 K の加法付値 v に対して、対応する付値環 Rv = {a ∈ K | v(a) ≥ 0} の構造が形成されます。このとき、m_v = {a ∈ K | v(a) > 0} というイデアルが定義され、付値環が持つさまざまな性質に重要な影響を与えます。

• - 付値環は局所環です。
• - 付値環は整閉です。
• - 0 でない元に対して、元または逆元のどちらかが付値環の元であることが保証されます。
• - 付値の全イデアルは、全順序集合を成します。

これらの性質により、付値環は数論や代数幾何学における重要なツールとして働きます。

階数と付値の同値性

付値の階数とは、その付値環の Krull 次元に関連し、特に加法付値の階数は、その付値環を支えるイデアルの数を示します。階数は必ずしも有限ではなく、加法付値の特性に大きく依存します。

加法付値の同値性は、付値環が等しい場合において成立し、乗法付値にも当てはまります。これにより、数学の他の分野と連携した多様な応用が生まれています。

まとめ

付値は、代数的構造を理解するための強力な道具であり、加法付値や乗法付値の枠組みを通じてさまざまな数学的概念を探求する基盤を提供します。今後の研究においても、これらの属性を活用し、新たな理論の構築へと繋げていくことが期待されます。

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