位数

数学における位数（いすう）

数学において「位数」（いすう、英語: order）は、様々な数学的対象の特性や規模を数値として捉える際に用いられる重要な概念です。これは、「次数（degree）」や「階数（rank）」などと同様に、対象のある種の指標として機能します。位数は、分野によって具体的な定義や対象が異なりますが、多くの場合、英語の "order" の訳語として使われます。

群論における位数

群論では、「位数」という言葉が二つの異なる意味で用いられます。

群の位数: ある群 G を構成する元の総数のことを指します。群 G が有限個の元からなる場合、その元の数を有限位数と呼びます。無限個の元からなる群は無限位数と呼ばれます。
群の元の位数: 群 G の任意の元 g に対して定義されます。単位元を e とするとき、元 g を繰り返し演算（乗法的な演算を持つ群なら g を何度も掛けること、加法的な演算を持つ群なら g を何度も足すこと）して、初めて単位元 e に等しくなるような最小の正の整数 n のことを、元 g の位数と呼びます。つまり、gⁿ = e を満たす最小の正整数 n です。このような正整数 n が存在しない場合、すなわち、いくら g を繰り返し演算しても単位元にならない場合、元 g の位数は無限大 (∞) であるとされます。

初等整数論における位数

初等整数論では、「位数」は合同式に関連して定義されます。互いに素である正の整数 m と、m と互いに素な整数 a に対して、a^d ≡ 1 (mod m) という合同式を満たす最小の正の整数 d のことを、「m を法とする a の位数（multiplicative order of a modulo m）」と呼びます。この位数は通常、ord_m(a) や O_m(a) といった記号で表記されます。これは、剰余類環 Z / mZ の乗法群 (Z / mZ)^× における、a の属する剰余類の位数として理解することもできます。

解析学などにおける位数

解析学や関連分野においても、「位数」は異なる文脈で使われます。

有理型関数の極や零点の位数: 有理型関数f(z)の特定の点z₀が零点であるか極であるかを示し、さらにその点が零点である場合はf(z)がz₀でどれだけ強くゼロになるか（例：(z-z₀)^k の形で表したときの k）、極である場合はf(z)がz₀でどれだけ強く発散するかを示す指標です。多項式の根の重複度もこれと類似した概念です。
整関数の位数: 複素平面全体で正則な関数である整関数 f(z) が、|z| を大きくしたときにどれくらいの速さで増大するかを示す指標の一つです。
収束の位数: 数値計算などで用いられる概念で、ある数列や反復計算アルゴリズムが、本来収束すべき値にどの程度の速さで近づくかを示す指標です。誤差がどのように減少していくかで評価されます。
形式的冪級数の位数: 形式的冪級数 Σ a_nxⁿ において、最初の非ゼロ係数 a_k の次数 k を指すことがあります。

その他の分野における位数

数学の様々な分野で「位数」という言葉が使われています。

ルジャンドル陪関数: 特殊関数の一つであるルジャンドル陪関数 P_n^m(ζ) において、添え字 n は「次数（degree）」、m は「位数（order）」と呼ばれ、関数の性質を決定するパラメータとして機能します。
グラフ理論: グラフ G を構成する頂点の総数を「位数（order）」と呼びます。これはグラフの基本的なサイズを表す指標です。

補足

「位数」という言葉は、文脈によっては「桁」や「位取り（place）」といった全く異なる意味で使われることもありますが、数学の技術的な用語としての「位数（order）」は、本項目で述べたような、群のサイズや元の性質、関数や合同式の振る舞いなどを数値化する指標として理解されます。

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