位相群の直和

位相群における位相的直和

位相群とは、群の構造に位相的性質を加えた数学的な構造です。これにおける位相的直和の概念は、特に部分群の組み合わせに関する重要な概念です。以下では、位相群 G が二つの部分群 H1 と H2 の位相的直和であるときの条件について説明します。

位相的直和の定義

位相群 G が部分群 H1 と H2 の位相的直和であるとは、次のような写像が位相群の同型である場合を言います。具体的には、次の写像が存在します：

$$egin{aligned}H_{1} imes H_{2} &
ightarrow G \(h_{1}, h_{2}) &
ightarrow h_{1} h_{2} \\ \\end{aligned}$$

ここで、(h1, h2) は H1 と H2 の要素であり、その積が G の要素として存在することを意味します。より一般的に、G が部分群の有限族 H_i (i = 1, …, n) の位相的直和である場合もあります。この場合、次のような同型の写像が成立します：

$$egin{aligned}igprod_{i=1}^{n} H_{i} &
ightarrow G \(h_{i})_{i ext{ in } I} &
ightarrow h_{1}h_{2} imes ext{···} imes h_{n} \\ \\end{aligned}$$

このことから、部分群の組み合わせにより位相群 G が構成される様子がわかります。

位相的直和因子の概念

特定の位相群 G に対して、その部分群 H が G の位相的直和因子であるとは、適切な部分群 K ≤ G を選ぶことで、G が部分群 H および K の直和として表現できることを指します。この際の必要十分条件として、次のような位相群の拡大が分裂することが挙げられます：

$$0 o H o G o G/H o 0$$

ここで、i は自然な埋め込みを、π は自然な射影を表します。この分裂により、H は G から位相的に分裂することになります。この条件を満たすとき、H は G の位相的直和因子と見なせます。

具体例

具体的な例として、G が単位円 T を部分群として含む局所コンパクトアーベル群である場合を考えましょう。この場合、T は G の位相的直和因子となります。同様に、実数直線 R に関しても同じ主張が成り立ちます。このように、位相的直和因子の概念は多くの実際の数学的構造において重要な役割を果たしています。

注意点

位相群 G がその部分群族 H_i の位相的直和である場合、G は特にその部分群族 H_i の通常の直和ともなることを理解しておく必要があります。このため、位相の有無にかかわらず、群の構造がどのように結びついているかを把握することが重要です。

以上の内容から、位相群とその部分群の関係に関する理解を深めるための基礎知識を身につけることができます。

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