位相群

位相群とは

数学における位相群（topological group）は、位相空間としての構造と群としての代数的構造が調和した概念です。具体的には、位相が与えられた群であって、その群演算（積と逆元を取る操作）が、与えられた位相に関して連続であるものを指します。

このため、位相群においては、群としての代数的操作と、位相空間としての連続写像の概念を同時に扱うことができます。特に、位相群の連続群作用は、連続対称性を研究する上で非常に強力な道具となり、物理学をはじめとする多くの分野で応用されています。

文献によっては、位相群を「連続群」と呼ぶ場合もあります。また、「位相群」という言葉を、位相空間としてハウスドルフの分離公理を満たす連続群、すなわちハウスドルフ位相群を指すものとして用いることもあります。

定義

位相空間 G に群演算（二項演算としての乗法と、単項演算としての逆元）が定義されているとき、G において群構造と位相構造が両立するとは、次の条件がともに成り立つことを言います。

1. 乗法の連続性: G × G → G; (g, h) ↦ gh が連続である。
2. 反転の連続性: G → G; g ↦ g⁻¹ が連続である。

ここで、乗法演算の連続性は、G × G に直積位相を与えて位相空間と見たときの連続性（二変数の連続性）を意味します。これは、各因子それぞれに関して連続である（偏連続）という条件よりも強いものです。

これらの条件を満たす集合 G は、位相群であると定義されます。つまり、位相群とは、すべての群演算が連続な群のことを指します。

多くの文献では、位相群の位相がハウスドルフ空間であると仮定することが一般的です。これは、単位元 1 が G において閉集合を成すという仮定と同値になります。ハウスドルフ空間を仮定する理由は、任意の位相群を適切な商を取ることでハウスドルフ空間にすることができるからです。

圏論の言葉では、位相群は位相空間の圏における群対象として定義できます。これは、通常の群が集合の圏における群対象であることと同様です。群の定義が射（二項の積、単項の反転、零項の単位元）によって与えられているという意味で、圏論的な定義となっています。

準同型

位相群 G, H に対し、写像 G → H が位相群の準同型であるとは、それが連続な群準同型であるときに言います。位相群の同型は、群同型であって、かつ台となる位相空間の間の同相でもあるものを指します。この条件は、単に連続な群同型であるという条件よりも強く、逆写像もまた連続でなければなりません。

代数的な群同型であっても、位相群としては同型でない例が存在します。例えば、任意の非離散位相群に対し、その位相を離散位相に取り換えた位相群を考えると、台となる群は同じ（特に同型）ですが、位相群としては同型にはなりません。

すべての位相群と、それらの間のすべての準同型を合わせたものは、ひとつの圏を成します。

例

1. 離散群: 任意の群は、離散位相を導入することで自明に位相群と見なすことができます。この意味で、位相群論は通常の群論を包含する概念です。
2. 実数群: 実数全体 R に通常の位相を入れたものは、加法に関する位相群となります。より一般に、n 次元ユークリッド空間 Rn は、加法に関して位相群です。
3. 位相アーベル群: 円周群 S1 や自然数 n に対するトーラス群 (S1)n などが、位相アーベル群の例として挙げられます。
4. 古典群: 非アーベル位相群の重要な例として、一般線形群 GL(n, R) があります。これは、成分が実数の n × n 可逆行列全体の成す群で、ユークリッド空間 Rn×n の部分空間としての位相を入れることで位相群と見なすことができます。また、直交群 O(n) は、Rn 上の線形変換で任意のベクトルの長さを変えないもの全体の成す群であり、位相空間としてコンパクトになります。直交群は、ユークリッド幾何学における対称性の研究において重要な役割を果たします。
5. リー群: 上記の例はすべてリー群と呼ばれる、滑らかな多様体であり、群演算が連続であるだけでなく滑らかな写像となるような位相群です。リー群は、多くの問題がリー環に関する代数的な問題に読み替えられるため、詳細に研究されています。
6. 非リー群: リー群でない位相群の例として、有理数の加法群 Q に R から遺伝する位相を入れたものがあります。これは可算な空間であり、離散位相とは異なる位相を持っています。また、数論において重要な例として、p-進整数の加法群 Zp があります。これは、有限群 Z/pnZ の n → ∞ の逆極限であり、コンパクトかつ完全不連結な位相群となります。
7. 無限次元リー群: バナッハ空間やヒルベルト空間のような位相線形空間は、加法に関して位相アーベル群となります。他にも、ループ群、カッツ–ムーディ群、自己微分同相群、自己同相群、ゲージ群などが研究されています。
8. バナッハ代数の単元群: 任意の乗法単位元を持つバナッハ代数において、その可逆元全体の成す集合（単元群）は、乗法に関して位相群を成します。

性質

位相群 G の反転演算は、G 上の自己同相となります。同様に、各元 a ∈ G の左乗および右乗も、G の自己同相を与えます。
位相群は、左一様性と右一様性という二通りの方法で一様空間と見なすことができます。G が非アーベルならば、これら二つが一致する必要はありません。この一様構造により、完備性や一様連続性、一様収束性を位相群上で議論することができます。
任意の一様空間は完全正則であるため、位相群も完全正則です。特に、単位元が G において閉集合ならば、G はハウスドルフ空間となり、さらにチホノフ空間にもなります。G がハウスドルフでない場合は、単位元の閉包 K による剰余群 G/K によってハウスドルフ位相群を得ることができます。
Birkhoff–Kakutaniの定理: 以下の三つは同値です。
単位元 1 が G において閉であり、G において 1 の可算基本近傍系が存在する。
G は位相空間として距離付け可能である。
G 上に左不変距離が存在して、それによる距離位相がもともとの位相に一致する。
位相群の任意の部分群は、相対位相に関してそれ自身が位相群になります。
G の部分群 H に対し、左剰余類全体の成す集合 G/H に商位相を入れたものは、G の等質空間と呼ばれます。商写像 q: G → G/H は常に開写像となります。等質空間 G/H がハウスドルフとなるための必要十分条件は、H が G において閉集合であることです。
任意の開部分群 H は、G において閉集合になります。
G の正規部分群 H に対し、剰余群 G/H は商位相に関して位相群を成します。この剰余群がハウスドルフとなるための必要十分条件は、H が G において閉集合であることです。
G の部分群 H に対し、H の閉包もまた部分群となります。同様に、H が G の正規部分群ならば、H の閉包も G において正規になります。
任意の位相群において、単位成分（単位元を含む連結成分）は閉部分群を成します。
位相群における代数的な群の同型定理は、位相群に対しては必ずしも成り立ちません。しかし、定理に現れる写像を適切に制限すれば、定理は成り立ちます。

ヒルベルトの第五問題

位相群とリー群の関係について、強力な結果が存在します。リー群の間の任意の連続準同型は滑らかであり、位相群がリー群の構造を持つならば、その構造は一意に決まります。また、リー群の任意の閉部分群はリー部分群となり、滑らかな部分多様体となります。

ヒルベルトの第五問題は、位相多様体の構造を持つ位相群 G が、リー群となるかどうか（つまり、滑らかな多様体の構造が入り、群演算が滑らかになるようにできるか）を問うものです。この問題は、Gleason, Montgomery, Zippinらによって肯定的に解決されました。その結果、G は実解析的構造を持つことが示されました。

この定理は、位相群の広範なクラスに対して帰結を持ちます。任意のコンパクト群は、コンパクトリー群の射影極限であり、連結局所コンパクト群は連結リー群の射影極限になります。また、完全不連結局所コンパクト群（TDLC群）は、常にコンパクト開部分群を含み、それは射有限群となります。

（局所）コンパクト群の表現

位相群 G の位相空間 X への連続作用は、G の X への群作用であって、対応する写像 G × X → X が連続となるものを指します。同様に、位相群 G の実または複素線型空間 V における表現（線型表現）は、G の V への連続作用であって、各 g ∈ G に対する写像 v ↦ gv が V 上の線形変換となるものを指します。

群作用および表現論は、特にコンパクト群に対してよく理解されており、有限群の表現論を一般化したものとなっています。コンパクト群の任意の有限次元表現は既約表現の直和となり、コンパクト群の無限次元ユニタリ表現は、ヒルベルト空間として既約表現（これらはすべて有限次元）の直和に分解することができます。これはピーター–ワイルの定理の一部です。

より一般に、局所コンパクト群はハール測度によって与えられる自然な測度と積分の概念を持ち、調和解析の豊かな理論を含んでいます。局所コンパクト群の任意のユニタリ表現は、既約ユニタリ表現の直積分として記述できます。この分解は、G がI-型（アーベル群や半単純リー群など、重要な例の大部分がこれに含まれます）ならば本質的に一意です。

局所コンパクトアーベル群 G に対しては、任意の既約ユニタリ表現は一次元です。この場合、ユニタリ双対 ˆG は群となり、実は局所コンパクトアーベル群になります。ポントリャーギン双対性とは、局所コンパクトアーベル群 G に対して ˆG のユニタリ双対がもとの群 G に等しいことを述べるものです。

任意の局所コンパクト群 G は、十分に多くの既約ユニタリ表現を持ちます。対照的に、局所コンパクトでない位相群の表現論は、特殊な場合を除きほとんど発展しておらず、一般論を期待するのは妥当ではありません。

位相群のホモトピー論

位相群は、すべての位相空間の中でも、そのホモトピー型の意味で特別な存在です。位相群 G は、弧状連結な位相空間である分類空間 BG を決定します。群 G は、ホモトピー圏において BG のループ空間に同型です。これは、G のホモトピー型にさまざまな制約があることを意味します。

例えば、位相群 G の基本群はアーベル群です。また、任意の体 k に対するコホモロジー環 H(G, k) は、ホップ代数の構造を持ちます。ハインツ・ホップとアルマン・ボレルによるホップ代数の構造定理によって、位相群のコホモロジー環には強い制約が課されます。

特に、連結リー群 G に対し、G の有理係数コホモロジー環は奇数次の生成元上の外積代数となります。連結リー群 G は、極大コンパクト部分群 K を（共軛を除いて一意に）持ち、K の G への包含はホモトピー同値になります。したがって、リー群のホモトピー型を記述することは、コンパクトリー群のそれに帰着されます。

最後に、コンパクト連結リー群はキリング、カルタン、ヴァイルによって分類されており、リー群の取りうるホモトピー型の本質的に完全な記述を可能にしています。

一般化

位相群のさまざまな一般化は、連続性条件を緩めることで得られます。

半位相群: 群の乗法が偏連続となる位相を持つ群を指します。すなわち、各元 c ∈ G の定める二つの写像 x ↦ xc および x ↦ cx が連続になります。
準位相群: 反転演算も連続となるような半位相群を指します。
パラ位相群: 群の乗法が連続となる位相を持つ群（反転は連続とは限りません）を指します。

まとめ

位相群は、代数構造と位相構造が調和した数学的な概念であり、様々な数学分野や物理学で重要な役割を果たしています。この記事では、位相群の定義、性質、例、および関連する理論について詳細に解説しました。

参考文献

参考文献として、記事中に記載した書籍や論文の他に、以下のようなものがあります。

Arhangel'skii, Alexander; Tkachenko, Mikhail (2008). Topological Groups and Related Structures. World Scientific.
Armstrong, M. A. (1997). Basic Topology (1st ed.). Springer-Verlag.
Bourbaki, Nicolas (1998), General Topology. Chapters 1–4, Springer-Verlag.
Bredon, Glen E. (1997). Topology and Geometry. Graduate Texts in Mathematics (1st ed.). Springer-Verlag.
Hatcher, Allen (2001), Algebraic Topology, Cambridge University Press.
Hewitt, Edwin; Ross, Kenneth A. (1970), Abstract Harmonic Analysis, 2, Springer-Verlag.
Mackey, George W. (1976), The Theory of Unitary Group Representations, University of Chicago Press.
Montgomery, Deane; Zippin, Leo (1955), Topological Transformation Groups, New York, London: Interscience Publishers.

その他、和書も多数出版されており、さまざまなレベルで位相群について学ぶことができます。

関連項目

代数群
位相環

外部リンク

Topological Group - MathWorld (英語)
Continuous Group - MathWorld (英語)
topological group - PlanetMath (英語)
Topological group - Encyclopedia of Mathematics (英語)
* topological group in nLab (英語)

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