部分群

部分群入門：群の内部構造を探る

群論において、部分群は群の構造を理解する上で非常に重要な概念です。本稿では、部分群の定義、性質、関連する定理、そして具体例を交えながら、部分群の世界を探求します。

部分群の定義

群 G の部分集合 H が G の部分群であるとは、H 自身が G と同じ演算に関して群を成すことを意味します。より厳密には、G の演算を H に制限した上で、H が群の公理（単位元の存在、逆元の存在、結合法則）を満たすということです。この関係は、通常 `H ≤ G` と表記され、「H は G の部分群である」と読みます。

H が G の真部分集合である（つまり、H ≠ G）場合、H を G の真部分群と呼び、`H < G` と表記します。任意の群 G に対して、G 自身と単位元のみからなる集合 {e} は常に G の部分群となります。

部分群の基本的性質

H が群 G の部分群であるための必要十分条件は、以下のいずれかです。

1. H が空集合ではなく、演算と逆元に関して閉じていること。これは、「H の任意の元 a, b に対して、ab と a⁻¹ も H に含まれる」ことを意味します。
2. H の任意の元 a, b に対して、ab⁻¹ が H に含まれること。これは、上記の条件をより簡潔に表現したものです。

H が有限集合の場合、H が空集合ではなく、積に関して閉じていることだけでも部分群であることが保証されます。これは、H の任意の元が H の有限巡回部分群を生成し、a の逆元が a の位数を n とすると a⁻¹ = aⁿ⁻¹ と表せることから導かれます。

準同型の観点からは、H が G の部分群である必要十分条件は、H が G の部分集合であり、H から G への包含写像が準同型写像となることです。

部分群の単位元は、もとの群の単位元と一致します。また、部分群のある元の逆元は、もとの群におけるその元の逆元と等しくなります。

複数の部分群 A, B の共通部分 A ∩ B はまた部分群となります。しかし、和集合 A ∪ B が部分群となるのは、A が B を含むか、B が A を含む場合に限られます。

G の部分集合 S を含む最小の部分群が存在し、これを S から生成される部分群と呼び、⟨S⟩ と表記します。⟨S⟩ の元は、S の元とそれらの逆元の有限個の積で表すことができます。

G の任意の元 a は、巡回群 ⟨a⟩ を生成します。⟨a⟩ が Z/nZ と同型であれば、n は aⁿ = e を満たす最小の正整数であり、これを a の位数と呼びます。⟨a⟩ が Z と同型であれば、a は無限位数を持つと言います。

群 G の部分群全体の集合は、包含関係に関して完備束を成します。この束の下限は集合論的な共通部分ですが、上限は集合論的な和集合ではなく、それから生成される部分群です。単位群 {e} が最小の部分群、G 自身が最大の部分群となります。

例：8 を法とする加法群

集合 G = {0, 2, 4, 6, 1, 3, 5, 7} に、8 を法とする加法を定義した群を考えます。この群には、自明でない部分群 J = {0, 4} と H = {0, 2, 4, 6} が存在し、J は H の部分群でもあります。この群と部分群はどちらも巡回群であり、巡回群の部分群は常に巡回群となります。

剰余類とラグランジュの定理

群 G、部分群 H、元 a に対して、左剰余類 aH = {ah | h ∈ H} を定義します。左剰余類は、G を互いに交わらない部分集合に分割します。H に関する左剰余類の個数を、G における H の指数と呼び、[G:H] と表記します。

ラグランジュの定理は、有限群 G とその部分群 H に対して、[G:H] = |G|/|H| が成り立つことを主張します。ここで、|G| と |H| はそれぞれ G と H の位数を表します。この定理から、有限群の部分群の位数は、もとの群の位数の約数であることが分かります。右剰余類も同様に定義でき、その個数は左剰余類と同じです。

すべての a ∈ G に対して aH = Ha が成り立つとき、H を正規部分群と呼びます。指数 2 の部分群は常に正規部分群です。

まとめ

部分群は、群の構造を理解するための基本的な概念であり、剰余類やラグランジュの定理といった重要な定理と深く関わっています。本稿で紹介した内容を理解することで、群論の更なる学習へと繋がるでしょう。

もう一度検索