作用 (物理学)

作用：物理系の運動を記述する汎関数

物理学において、作用 (action) は、物理系の時間発展を記述する中心的な概念です。数学的には、系の経路を引数とする実数値の汎関数として定義されます。異なる経路では作用の値も異なり、古典力学では、作用が停留値（通常は最小値）となる経路が実際に実現されると考えられています。これが最小作用の原理です。

作用の定義と性質

作用は[エネルギー]]と時間の積と同じ次元を持ち、SI単位系ではジュール秒]で表されます。[[プランク定数も作用と同じ次元を持ち、作用の普遍的な単位として用いられることがあります。

作用は様々な形で定義されますが、解析力学では、ラグランジアンを時間積分したものが一般的です。

$$ \mathcal{S} = \int_{t_i}^{t_f} L \, dt $$

ここで、L はラグランジアン、ti と tf はそれぞれ初期時刻と終時刻です。場の理論では、ラグランジアン密度を空間と時間の両方で積分したものが作用として定義されます。

最小作用の原理とオイラー＝ラグランジュ方程式

最小作用の原理は、物理系が初期状態と終状態が与えられたとき、作用を最小にする経路を通って時間発展するという原理です。この原理から、系の運動方程式であるオイラー＝ラグランジュ方程式が導かれます。

一変数の一般化座標 x の場合、オイラー＝ラグランジュ方程式は以下のように表されます。

$$ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \right) - \frac{\partial L}{\partial x} = 0 $$

ここで、\dot{x} は x の時間微分です。この方程式は、ラグランジアン L が x と \dot{x} の関数であることを仮定しています。

ハミルトンの主関数と特性関数

ハミルトンの主関数 (Hamilton's principal function) は、ハミルトン・ヤコビ方程式から定義される関数で、作用汎関数と密接に関係しています。全エネルギーが保存される系では、ハミルトンの主関数は、時間に依存しない関数 W (ハミルトンの特性関数) とエネルギー E を用いて以下のように表すことができます。

$$ S(q_1, ..., q_N, t) = W(q_1, ..., q_N) - E \cdot t $$

特性関数の全微分は、一般化座標 qi と一般化運動量 pi の積となり、簡約された作用と密接な関係があります。

作用変数と角変数

保存系では、一般化運動量の相空間上の閉経路に沿った積分として定義される作用変数 (action variable) Jk と、その共役変数である角変数 (angle variable) wk が導入されます。作用変数は系の振動や回転の運動に対応しており、摂動計算や断熱不変量の決定に用いられます。

作用原理の拡張と応用

作用原理は、古典力学だけでなく、古典場の理論、量子力学、場の量子論など、現代物理学の様々な分野に応用されています。

古典場の理論: 電磁場や重力場などの場の運動方程式は、作用原理を用いて導出することができます。アインシュタイン方程式はアインシュタイン・ヒルベルト作用から導かれます。
量子力学: 量子力学では、経路積分を用いて系の振る舞いを記述します。経路積分では、全ての可能な経路に対する作用が系の振る舞いに寄与します。
* 相対論的粒子: 相対論的な粒子の作用は、固有時間 τ を用いて以下のように表すことができます。

$$ S = -mc^2 \int_C d\tau $$

ここで、m は粒子の質量、c は光速です。

まとめ

作用は、物理系の運動を記述する強力な概念であり、最小作用の原理を通じて系の経路を決定します。オイラー＝ラグランジュ方程式、ハミルトンの主関数、特性関数、作用変数など、様々な形で定義され、古典力学から現代物理学まで幅広く応用されています。そのシンプルさと普遍性から、物理学における重要な概念となっています。

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