作用素位相

作用素位相

数学の関数解析学、特にヒルベルト空間 `H` 上の有界線形作用素全体がなす空間 `B(H)` を考察する際、作用素の「収束」をどのように定義するかが重要な課題となります。これにはいくつかの標準的な方法があり、それぞれが `B(H)` 上の異なる位相（作用素位相）として定式化されます。

作用素列の収束

`H` 上の線形作用素の列 `{Tn}` が、ある作用素 `T` に収束すると考えるとき、主なものとして以下の三つの異なる収束概念があります。

1. 一様収束（ノルム収束）: 作用素ノルム `‖Tn - T‖` が `n → ∞` のときに `0` に収束する場合を指します。これは、`H` の単位球上の任意のベクトル `x` に対して、像 `Tnx` と `Tx` の差のノルム `‖Tnx - Tx‖_H` の上限が `0` に近づくことを意味します。この収束によって定義される位相を一様作用素位相、またはノルム位相と呼びます。

2. 強収束: `H` の任意のベクトル `x` に対して、`Tnx` が `Tx` に（ベクトルのノルムの意味で）収束する場合を指します。すなわち、`n → ∞` のときに `‖Tnx - Tx‖_H → 0` となることです。この収束を強作用素位相における収束と呼びます。

3. 弱収束: `H` の任意のベクトル `x` と、`H` 上の任意の連続線形汎函数 `F` に対して、`F(Tnx)` が `F(Tx)` に（スカラーとして）収束する場合を指します。これは、`n → ∞` のときに `F(Tnx) → F(Tx)` となることです。この収束を弱作用素位相における収束と呼びます。

これらの収束概念やそれに対応する位相は、ヒルベルト空間だけでなく、より一般的なバナッハ空間においても同様に定義され、多くの応用を持ちます。

B(H) 上の多様な位相

前述の三つ以外にも、`B(H)` 上には様々な種類の位相が存在します。これらの位相の多くは局所凸位相であり、特定の半ノルムの族によって特徴づけられます。

解析学において、位相空間の「強い」「弱い」は、開集合の多寡に対応します。開集合が多い位相は「強い」と呼ばれ、収束するためにはより厳しい条件が課されます。逆に、開集合が少ない位相は「弱い」と呼ばれ、収束条件は緩やかになります。したがって、強い位相での収束は弱い位相での収束を常に含意しますが、逆は必ずしも成り立ちません。

`B(H)` 上の主な作用素位相とその特徴は以下の通りです。

ノルム位相（一様作用素位相）: 作用素ノルム `||x||` によって定義される位相です。これはここで挙げる他のどの作用素位相よりも強い位相です。
弱（バナッハ空間）位相 `σ(B(H), B(H))`: `B(H)` をバナッハ空間と見たときの弱位相です。`B(H)` の双対空間 `B(H)` の全ての元が連続となる最も弱い位相として定義されます。これは弱作用素位相や超弱位相よりも強い位相です（ただし、「弱位相」という言葉が文脈によってこれら複数の位相を指すことがあるため注意が必要です）。
マッキー位相（アレンス＝マッキー位相）: `B(H)` 上の局所凸位相のうちで最も強く、かつ双対空間が `B(H)` となる位相です。`B(H)` における `σ(B(H), B(H))` コンパクトな部分集合上での一様収束位相としても特徴づけられます。
σ-強位相（超強位相）: `B(H)` の正の元 `w` に対する半ノルム `pw(x) = (w, xx)^(1/2)` および `pw(x) = (w, x x)^(1/2)` の族によって定義されます。これは超強位相より強く、随伴作用素の連続性を保証する最も弱い位相です。
σ-強位相（超強位相、最強作用素位相）: `B(H)` の正の元 `w` に対する半ノルム `pw(x) = (w, xx)^(1/2)` の族によって定義されます。名前の「最強」に反して、通常ノルム位相よりは弱い位相です。
σ-弱位相（超弱位相、弱作用素位相）* `σ(B(H), B(H))`: `B(H)` の元 `w` に対する半ノルム `|(w, x)|` の族によって定義されます。これは `B(H)` の前双対（トレース級作用素全体）とのペアリングによって定義される位相であり、特にフォン・ノイマン環の理論で重要です。弱バナッハ空間位相、弱作用素位相、超弱位相は文脈によって同じ「弱位相」と呼ばれることがあり、混同しやすい点です。
*強作用素位相（強位相）: `H` の任意のベクトル `h` に対する半ノルム `||x(h)||` および `||x(h)||` によって定義されます。これは強作用素位相と弱作用素位相の両方よりも強い位相です。
強作用素位相（SOT）: `H` の任意のベクトル `h` に対する半ノルム `||x(h)||` によって定義されます。これは弱作用素位相よりも強い位相です。
弱作用素位相（WOT）: `H` の任意のベクトル `h1` と `h2` に対する半ノルム `|(x(h1), h2)|`（内積）によって定義されます。これは前述の弱バナッハ空間位相や超弱位相とは異なる概念ですが、しばしば総称して「弱位相」と呼ばれることがあります。

これらの多様な作用素位相を理解することは、`B(H)` の構造や作用素の振る舞いを深く分析するために不可欠です。

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