信頼区間

信頼区間の概念とその重要性

信頼区間（Confidence Interval, CI）は、統計学において母集団の真の値が含まれていると十分に確信できる数値の範囲を表します。例えば、「95%信頼区間」という場合、その区間内に真の値が存在する確率が95%であることを意味します。これは、得られる信頼区間が統計的な分析手法に基づいているため、観測データに則った信頼性の高い情報を提供します。

信頼区間の具体的な計算

信頼区間は、観測されたデータから計算されます。たとえば、母数空間Θにおける関数g: Θ → Rがあり、ここで母数θが決まると、信頼区間[a, b]が次の条件を満たす場合を考えます。

$$
P(a ≤ g(θ) ≤ b) ≥ 1 - α
$$

この式は、区間[a, b]が母数g(θ)の100(1 − α)%信頼区間であることを示しています。一般的に、信頼水準は95%（α = 0.05）や99%（α = 0.01）などが用いられます。例えば、「95%の信頼区間で、投票者の35%から45%が候補Aを支持している」という場合、35%から45%が信頼区間となり、信頼水準は95%になります。

解釈上の注意

信頼区間の解釈には慎重さが求められます。たとえば、「候補Aの支持率が35%から45%である確率は95%である」という解釈は誤解を生む可能性があります。実際には、支持率は単なる定数であり、観測されたデータが誤差を伴うため、「同じ測定を10回行えば、9回程度の頻度で候補Aの支持率が35%から45%である結果が得られる」という言い方が正確です。

ベイズ統計における信頼区間

ベイズ[[統計学]]では、信頼区間の考え方が異なることに注意が必要です。確率を単なる信頼の度合いとして捉えるこのアプローチでは、「海王星の質量がaからbの間に入る確率は90%である」といった表現も許容されます。これは、事前確率分布と観測データに基づいて条件付確率を計算するという方法を用いています。

具体例による理解

具体的な計算例として、独立な標本X1, …, Xnが正規分布に従う母集団から抽出された場合を見てみましょう。標本平均を$ar{X}$、不偏分散を$S^2$と仮定します。

ここで、以下の定義を用います。

$$
T = rac{ar{X} - μ}{S/rac{1}{
}} ext{は自由度 n - 1 のt分布に従う}
$$

そして、次の条件が成り立つとします。

$$
Pig(-t_{n-1}(rac{α}{2}) ≤ T ≤ t_{n-1}(rac{α}{2})ig) = 1 - α
$$

この条件を基に、信頼区間は次のように求められます。

$$
Pig(ar{X} - t_{n-1}(rac{α}{2}) rac{S}{
} ≤ μ ≤ ar{X} + t_{n-1}(rac{α}{2}) rac{S}{
}ig) = 1 - α
$$

この計算から、確率的に信頼区間は以下のように表現されます。

$$
ig[ar{X} - t_{n-1}(rac{α}{2}) rac{S}{
}, ar{X} + t_{n-1}(rac{α}{2}) rac{S}{
}ig]
$$

まとめ

信頼区間は、統計学の中で極めて重要なツールです。母集団の特性を理解するための範囲を提供し、観測データからどのように推定を行うかという点において意味深い情報をもたらします。信頼区間を正しく解釈し、誤解を避けながらデータ分析を進めることが、信頼性のある結論を導くための鍵です。

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