傾き (数学)

直線の傾き：傾斜の度合いを表す数値

数学において、平面上の直線の傾きは、その直線がどれくらい傾いているかを表す数値です。直線の傾きは、一般的に直線上の2点間のx座標の変化量に対するy座標の変化量の比率として定義されます。

傾きの定義と計算方法

xy平面上の直線を考えます。この直線上の2点を(x1, y1), (x2, y2)とすると、直線の傾きmは次の式で表されます。

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

ここで、分母が0になる場合、つまりx1 = x2の場合、直線は鉛直線となり、傾きは定義されません。水平線の場合、y1 = y2となるため、傾きは0となります。

例1: 直線が2点(1, 2)と(13, 8)を通る場合

$$m = \frac{8 - 2}{13 - 1} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$

例2: 直線が2点(4, 15)と(3, 21)を通る場合

$$m = \frac{21 - 15}{3 - 4} = \frac{6}{-1} = -6$$

傾斜角と傾きの関係

傾きは、傾斜角θを用いて次のように表すこともできます。

$$m = \tan\theta$$

傾斜角θは、直線とx軸の正の部分が作る角で、通常0° ≤ θ < 180° または -90° < θ ≤ 90° の範囲で表されます。

平行線と垂直線の傾き

異なる2本の直線が平行である条件は、それぞれの傾きが等しいか、どちらも傾きが定義されない（どちらも鉛直線）ことです。一方、異なる2本の直線が垂直である条件は、傾きの積が-1になるか、一方の傾きが0で他方が定義されない（一方水平線、他方鉛直線）ことです。

一次関数と傾き

一次関数y = ax + bにおいて、aは直線の傾きを表します。bはy切片で、グラフがy軸と交わる点のy座標です。

証明:

一次関数y = ax + bのグラフ上の2点P(x1, ax1 + b)とQ(x2, ax2 + b)を考えます。

xの増加量: Δx = x2 - x1
yの増加量: Δy = (ax2 + b) - (ax1 + b) = a(x2 - x1)

傾きmは

$$m = \frac{Δy}{Δx} = \frac{a(x_2 - x_1)}{x_2 - x_1} = a$$

となります。

直線の方程式

傾きmと直線上の1点(x1, y1)がわかれば、点・傾き標準形と呼ばれる直線の方程式は次のように表されます。

$$y - y_1 = m(x - x_1)$$

また、直線の一般形はax + by + c = 0と表され、全ての直線を表すことができます。b≠0なら傾きは -a/bとなります。切片形x/a + y/b = 1ではx切片がa、y切片がb、傾きは -b/aとなります。

方向ベクトルとの関係

直線の傾きがmであることは、その直線の方向ベクトルが(1, m)であることと同値です。

曲線の傾きと微分係数

曲線上の1点における傾きは、その点における接線の傾きとして定義されます。これは微分係数で表され、導関数dy/dxで計算できます。微分係数が定義できない場合もあります。（例：y = |x|のx = 0、y = xsin(1/x)のx = 0）

もう一度検索