全角運動量量子数

全角運動量量子数

量子力学において、全角運動量量子数（英: total angular momentum quantum number）は、原子中の電子の全角運動量を表す重要な量子数です。電子の運動は、軌道角運動とスピン角運動の二つの角運動量の合成によって記述されます。全角運動量量子数は、これらの角運動量の合成によって決まる全角運動量の大きさを量子化して表すものです。

軌道角運動量とスピン角運動量の合成

電子の軌道角運動量は、原子核の周りの電子の運動によって生じます。方位量子数ℓによってその大きさが決定され、ℓ=0, 1, 2,... の整数値をとります。一方、スピン角運動量は、電子の固有の角運動量で、スピン量子数sによってその大きさが決定され、s=1/2です。

これらの角運動量はベクトルとして表現でき、全角運動量ベクトルjは、軌道角運動量ベクトルℓとスピン角運動量ベクトルsのベクトル和として定義されます。

\(\mathbf{j} = \mathbf{ℓ} + \mathbf{s}\)

全角運動量の大きさは、全角運動量量子数jによって量子化されます。jは、以下の式で表される範囲の整数または半整数値をとります。

\(|ℓ - s| ≤ j ≤ ℓ + s\)

例えば、ℓ=1、s=1/2の場合、jは1/2または3/2となります。

全角運動量ベクトル

全角運動量ベクトルjの大きさは、以下の式で表されます。

\(\|\mathbf{j}\| = \sqrt{j(j+1)}\hbar\)

ここで、ħはディラック定数です。また、全角運動量ベクトルのz成分は、第二全角運動量量子数mjによって量子化されます。mjは、-jから+jまでの間で1ずつ変化する値をとります。

\(j_z = m_j\hbar\)

mjの値は、2j+1個存在します。

全角運動量量子数の重要性

全角運動量量子数は、原子や分子の電子状態を記述する上で非常に重要な役割を果たします。例えば、原子スペクトルの微細構造は、電子のスピン軌道相互作用によって生じますが、この相互作用の強さは、全角運動量量子数jに依存します。また、多電子系の原子では、個々の電子の全角運動量の合成によって、原子の全角運動量が決定されます。

関連する量子数

主量子数 (n)：電子のエネルギー準位を決定する量子数
方位量子数 (ℓ)：軌道角運動量の大きさを決定する量子数
磁気量子数 (mℓ)：軌道角運動量の空間方向を決定する量子数
スピン量子数 (s)：電子のスピン角運動量の大きさを決定する量子数
主全角運動量量子数(j): 全角運動量の大きさを決定する量子数
第二全角運動量量子数(mj): 全角運動量のz成分を決定する量子数

まとめ

全角運動量量子数は、量子力学において重要な役割を果たす量子数であり、原子や分子の電子状態を理解する上で不可欠です。軌道角運動量とスピン角運動量の合成によって決まる全角運動量の大きさを量子化して表現し、原子スペクトルの微細構造や多電子系の原子における全角運動量の決定に重要な役割を果たします。この量子数を理解することで、量子力学のより深い理解に繋がります。

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