スピン角運動量

スピン角運動量詳解

はじめに

スピン角運動量は、電子などの素粒子や複合粒子が持つ固有の角運動量です。古典的な物体の自転のようなイメージで理解されることもありますが、量子力学的なスピンは、何かが実際に回転しているわけではありません。しかし、磁気回転効果などを通して、物体の回転運動と関連付けられることが知られています。

スピン角運動量の概念

スピン角運動量は、他の物理量とは異なる振る舞いをするため、量子力学の理論を拡張する必要があります。非相対論的量子力学では、スピンを記述するための修正が必要ですが、相対論的量子力学（例えばディラック方程式）では、より自然な形でスピンが取り込まれています。

粒子の回転運動に由来する角運動量は軌道角運動量と呼ばれ、スピン角運動量と軌道角運動量の和を全角運動量といいます。

スピン量子数

スピン角運動量の大きさを表すのがスピン量子数 (s) です。素粒子のスピン量子数は一定で、方向のみが変化します。荷電粒子のスピン量子数は磁気双極子モーメントと関連しています。

スピン量子数は、粒子をフェルミ粒子（半整数スピン）とボース粒子（整数スピン）に分類する重要な指標です。フェルミ粒子とボース粒子の物理的性質は大きく異なります。

素粒子と複合粒子のスピン量子数

現在知られている素粒子では、フェルミオンのスピン量子数は全て1/2です。ボゾンは、ヒッグス粒子がスピン0、その他はスピン1です。

複合粒子のスピン量子数は、構成する素粒子のスピン量子数の単純な和とは限りません。例えば、電子とクォークからなるヘリウム原子のスピン量子数は0です。この関係は、相対論的な場の量子論によって説明されます。

スピン角運動量の数学的定式化

スピン角運動量を数学的に扱うには、回転群SO(3)やユニタリ群U(V)、SU(V)などのリー群とそのリー環の概念を用います。

回転群とユニタリ群

3次元空間における回転行列全体の集合が3次元回転群SO(3)です。ユニタリ群U(V)は、複素計量ベクトル空間V上のユニタリ演算子全体の集合です。特殊ユニタリ群SU(V)は、U(V)の部分群で、行列式が1のユニタリ演算子からなります。

これらの群とそのリー環を用いて、軌道角運動量演算子を回転対称性の観点から定式化できます。

スピンを考慮した場合のヒルベルト空間

スピンを考慮すると、波動関数全体のなすヒルベルト空間Hは、空間部分L²(R³)とスピン部分Vsのテンソル積H = L²(R³)⊗Vsで表されます。ここで、sはスピン量子数、Vsは2s+1次元の複素計量ベクトル空間です。sが半整数の粒子がフェルミオン、sが整数の粒子がボゾンです。

スピンを考慮した波動関数の記述

スピンを考慮した波動関数は、成分表示とスピノール表示の2つの方法で記述されます。成分表示では、空間部分とスピン部分のテンソル積として表し、スピノール表示では、(2s+1)次元の複素ベクトル値関数として表します。

スピンを考慮した場合のオブザーバブル

スピンを考慮した場合、オブザーバブルはH上のエルミート演算子として定式化され、空間部分とスピン部分のテンソル積として表されます。スピン角運動量演算子も同様に、Vs上のエルミート演算子として定式化されます。

スピン群SU(2)を用いた定式化

SO(3)の代わりに、スピン群Spin(3)≃SU(2)を用いることで、スピン角運動量演算子を自然に定義できます。SU(2)のユニタリ表現を用いてスピン角運動量演算子を定義し、その性質（交換関係、回転軸の変換）を調べます。

クレブシュ-ゴルダン係数

複数のスピン角運動量を扱う場合、クレブシュ-ゴルダン係数を使って、全角運動量の状態を構成します。

歴史

電子のスピン角運動量は、ゼーマン効果の実験結果を説明するために、ウーレンベックとゴーズミットによって導入されました。当初は電子の自転として解釈されていましたが、これは相対論と矛盾するため、パウリは電子の自転という古典的な描像を捨て、スピンを半整数の固有値を持つ角運動量として定式化しました。現在の標準模型では、電子は大きさ0の質点として扱われます。

結論

スピン角運動量は、素粒子物理学における基本的な概念であり、量子力学を理解する上で不可欠です。本稿では、その数学的定式化、物理的性質、歴史的な背景について解説しました。スピンは、素粒子の分類や性質を理解する上で重要な役割を果たしています。

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