八十四角形

八十四角形

八十四角形は、84本の辺と84個の頂点を持つ多角形です。複雑な形状を持つため、その性質を理解するには幾何学的な知識が必要です。

正八十四角形

正八十四角形は、全ての辺と角が等しい特別な八十四角形です。その幾何学的性質を以下に示します。

中心角と外角: 中心角と外角は共に360°/84 ≈ 4.2857°です。
内角: 内角は180° - 4.2857° ≈ 175.7143°です。
* 面積: 一辺の長さをaとすると、正八十四角形の面積Sは次の式で表されます。

S = (84/4)a²cot(π/84) ≒ 561.23682a²

この式は、正多角形の面積公式から導き出されます。cotは余接関数、πは円周率を表します。

数学的性質

八十四角形は、様々な数学的性質を持っています。特に、正八十四角形に関する三角関数や、辺の長さ、対角線の本数、内角の和といった要素間の関係式は複雑で興味深いものです。

例として、以下の関係式が挙げられます。これらの式は、三角関数の加法定理や、複素数の性質を利用して導き出されますが、詳細な説明は専門的な数学の知識を必要とします。


2cos(2π/84) + 2cos(74π/84) + 2cos(50π/84) = (√3 - √7)/2
2cos(38π/84) + 2cos(62π/84) + 2cos(58π/84) = (-√3 - √7)/2
2cos(34π/84) + 2cos(82π/84) + 2cos(10π/84) = (-√3 + √7)/2
2cos(26π/84) + 2cos(46π/84) + 2cos(22π/84) = (√3 + √7)/2


これらの関係式は、正八十四角形の対称性や、三角関数の周期性などを反映しています。さらに、これらの式を元に、より複雑な関係式を導き出すことも可能です。

作図可能性

正八十四角形は、定規とコンパスのみを用いた作図は不可能です。これは、84が2²×3×7という素因数分解され、フェルマー素数を含まないためです。ただし、折り紙を用いることで作図が可能です。

関連する多角形

八十四角形は、辺の数や内角の和といった性質において、他の多角形と関連付けられます。例えば、7の倍数である辺の数を持つ多角形（七角形、十四角形、二十一角形など）とは、幾何学的な類似性を持つ可能性があります。

まとめ

八十四角形、特に正八十四角形は、その複雑な形状と多様な数学的性質を持つ興味深い図形です。その性質を理解するには、幾何学、三角関数、さらには複素数の知識が必要となる場合があります。しかし、これらの性質を解き明かすことで、数学の世界への理解を深めることができるでしょう。

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