六十三角形

六十三角形：63本の辺を持つ多角形

六十三角形は、63本の辺と63個の頂点を持つ多角形です。多角形の内角の和は(n-2)×180°で求められるため、六十三角形の内角の和は(63-2)×180°=10980°となります。また、多角形の対角線の本数はn(n-3)/2で求められるため、六十三角形の対角線の本数は63(63-3)/2=1890本となります。

正六十三角形

正六十三角形は、全ての辺の長さが等しく、全ての内角の大きさが等しい六十三角形です。正多角形の中心角は360°/nで求められるため、正六十三角形の中心角は360°/63≒5.714°となります。外角は中心角と同じ大きさなので、正六十三角形の外角も約5.714°です。内角は180°－外角なので、約174.286°となります。

正六十三角形の一辺の長さをaとすると、その面積Sは以下のように表されます。

S = (63/4)a²cot(π/63)

ここで、cotは余接関数です。この式は、正六十三角形を63個の合同な二等辺三角形に分割し、それぞれの三角形の面積を求めて合計することで導き出せます。

正六十三角形と三角関数

正六十三角形に関連する興味深い数学的性質として、cos(2π/63)の一部がcos(6π/7)cos(8π/9)であることが挙げられます。さらに、cos(2π/63)は、以下の9次方程式の解として表すことができます。

x⁹ - 15x⁷ - 4x⁶ + 54x⁵ + 12x⁴ - 38x³ - 9x² + 6x + 1 = 0

この方程式の解は、複雑な平方根と立方根を用いて表すことができます。例えば、ω = e^(2πi/3), σ₇ = e^(2πi/7)とすると、以下の式が成り立ちます。

cos(2π/63) = (³√(ωσ₇⁵) + ³√(ω²σ₇²))/2

これらの式は、正六十三角形に関する幾何学的性質と、複素数の指数関数、三角関数との深い関係を示しています。

正六十三角形の作図

正六十三角形は、定規とコンパスのみを用いた作図が不可能です。これは、63が2のべき乗と異なるフェルマー素数の積で表せないためです。ガウスの定理によると、正n角形が定規とコンパスで作図可能であるための必要十分条件は、nが2のべき乗と異なるフェルマー素数の積で表されることです。しかし、正六十三角形は折紙を用いることで作図が可能です。

まとめ

六十三角形、特に正六十三角形は、その幾何学的性質だけでなく、三角関数や代数学との深い繋がりを持つ興味深い図形です。一見単純な図形に見えても、その背後には高度な数学が潜んでいることが分かります。この解説が、六十三角形への理解を深める一助となれば幸いです。

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