共面

共面性：幾何学における平面上の配置

幾何学において、複数の幾何学的対象が同一平面上にあることを共面性といいます。この概念は、点、直線、ベクトルなど、様々な幾何学的対象に適用できます。

共面性の基本

点の共面性: 複数の点が共面であるとは、それらの点がすべて同じ平面上に存在することを意味します。3点であれば必ず共面となりますが、4点以上になると必ずしも共面とは限りません。3点が互いに異なる点であれば、それらを通る平面はただ一つに定まります。

直線の共面性: 2本の直線が共面であるとは、それら2本の直線が同じ平面上に存在することを意味します。共面な2本の直線は、平行であるか、または1点で交わります。共面でない2本の直線をねじれの位置にあるといいます。

共面性の判定

共面性の判定は、対象となる幾何学的対象によって異なる方法で行われます。

ベクトルを用いた判定

ベクトルを用いると、共面性を効率的に判定できます。3つのベクトルa, b, cが共面であるかどうかを判定するには、スカラー三重積を用います。スカラー三重積が0であれば、3つのベクトルは共面です。

具体的には、3つのベクトルa, b, cのスカラー三重積は、(a × b) ⋅ cで表されます。ここで、×は外積、⋅は内積を表します。この値が0であれば、3つのベクトルは同一平面上にあるため共面であると判定できます。

また、2つの線形独立なベクトルが張る平面を考えることで、任意のベクトルがその平面上に存在するかどうかを判定できます。

座標を用いた判定

点の座標が分かっている場合は、座標を用いて共面性を判定できます。例えば、4点の座標が分かっている場合、それらの点を用いて行列を作成し、その行列の階数を求めることで共面性を判定できます。行列の階数が2以下であれば、4点は共面であると判定できます。この方法は、任意の数の点に対して適用可能です。

共面性を持たない図形

ねじれ多角形は、頂点が共面でない多角形です。ねじれ多角形は、少なくとも4つの頂点を持つ必要があります。なぜなら、3点であれば常に共面となるためです。

また、正の体積を持つ多面体は、共面でない点を必ず含みます。

まとめ

共面性は、幾何学において重要な概念です。点、直線、ベクトルなど、様々な幾何学的対象の配置関係を理解する上で必要不可欠です。ベクトルや座標を用いた判定方法は、共面性の判定を効率的に行うための強力なツールとなります。これらの方法を理解することで、幾何学的な問題をより深く理解できるようになるでしょう。

もう一度検索