内的集合

数理論理学の一分野であるモデル理論、中でも特に超準解析の文脈において、「内的集合」（英: internal set）は中心的な概念の一つです。これは、ある集合論的なモデルの中で、そのモデル自体の要素として扱われる集合のことを指します。

内的集合の概念は、実数全体の集合 $\mathbb{R}$ が持つ解析的な性質と、それを拡張した超実数体 $\\mathbb{R}$ が持つ性質との間の論理的な関連性を示す「移行原理」（transfer principle）を明確に定式化する上で重要な役割を果たします。超実数体 $\\mathbb{R}$ は、無限に小さい数（無限小）や無限に大きい数を含むという特徴を持ち、これにより無限小を用いた直感的な議論を数学的に厳密に扱うことが可能になります。移行原理は、大まかに言えば、ある特定の形式で記述された $\mathbb{R}$ 上の数学的な命題が、同様に $\\mathbb{R}$ に対しても成立するということを示唆しています。この原理が成立する背景には、数理論理学的な言明が、任意の集合に対してではなく、内的集合に対してのみ有効であると解釈されるという事実があります。

超準解析へのアプローチはいくつか存在しますが、エドワード・ネルソンが提唱した内的集合論（IST）はその一つであり、公理的な観点から超準解析を構築します。また、超実数を実数列の同値類として構成する伝統的な超冪構成法においても、内的集合の概念が不可欠です。

超冪構成における内的集合

超冪構成を用いて超実数を定義する場合、超実数体 $\\mathbb{R}$ の内的部分集合は、実数の部分集合の列 $\langle A_n \rangle$ に対応する形で定義されることがあります。具体的には、超実数 $[u_n]$（実数列 $\langle u_n \rangle$ の同値類）が内的集合 $[A_n]$（実数の部分集合列 $\langle A_n \rangle$ に対応）に属することは、$u_n \in A_n$ を満たす添え字 $n$ 全体の集合が、超冪構成に用いられる超フィルターに含まれることと同値となります。

より広い視点では、内的量（internal entity）という概念があります。これは、実数に関する様々な数学的な対象（数、集合、関数など）を、超実数の世界へ「自然に拡張」した際に得られる対応物の要素となるものを指します。

したがって、以下の事柄が成り立ちます：

超実数体 $\\mathbb{R}$ の任意の要素は内的量です（特に、内的数と呼べます）。
超実数体 $\\mathbb{R}$ の部分集合が内的であることと、実数体の冪集合 $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ の自然な拡張である $\\mathcal{P}(\mathbb{R})$ の要素であることとは同値です。

内的集合と外的な集合

実数体 $\mathbb{R}$ の部分集合であって、かつ超実数体 $\\mathbb{R}$ の内的部分集合でもあるものは、「有限」集合である必要があります。これは、超実数体の内部にある無限集合は、必ず標準的ではない要素（超準的な元）を含んでいることを意味します。

この性質の直接的な帰結として、以下のような標準的な集合は、超実数体 $\\mathbb{R}$ の部分集合としては外的（external）であることが分かります。

標準自然数全体の集合 $\mathbb{N}$
超準自然数全体の集合 $\\mathbb{N} \setminus \mathbb{N}$
標準実数全体の集合 $\mathbb{R}$
超準実数全体の集合 $\\mathbb{R} \setminus \mathbb{R}$
無限大超実数全体の集合 $G(\mathbb{R}) := \{ x \in \\mathbb{R} \mid \forall n \in \mathbb{Z}_+ \ n \leq |x| \}$
無限小超実数全体の集合 $\mu(\mathbb{R}) := \{ x \in \*\mathbb{R} \mid \forall n \in \mathbb{Z}_+ \ |x| \leq 1/n \}$

これらの集合は、超実数モデルの中には「一つの集合要素」としては存在しない、という見方ができます。これらは超実数モデルの外部から定義される概念と考えることができます。

Fehreleの原理

超準解析においては、「モナディック集合」や「ギャラクティック集合」といった特別な性質を持つ集合が研究されます。Fehreleの原理として知られる定理によれば、任意のモナディック集合 $M$ と、それに含まれるギャラクティック集合 $G \subseteq M$ に対して、必ずある内的集合 $I$ が存在し、$G \subseteq I \subseteq M$ という包含関係が成り立ちます。この原理から、特にモナディックかつギャラクティックな性質を両方満たす集合は、必ず内的集合であることが導かれます。

内的集合は、超準解析を用いて様々な数学分野（解析学、トポロジーなど）を研究する上で、議論の基盤をなす極めて重要な概念です。

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