モデル理論
モデル理論は、数理論理学の枠組みの中で、数学的な構造（例えば、群、体、グラフ、集合論の宇宙など）を研究する分野です。形式言語で記述された文に意味を与える「モデル」を主な研究対象とし、特定の文や理論を満たす構造をモデルと定義します。
モデル理論は、論理式の操作的意味論を扱う証明論に対し、表示的意味論の役割を担います。つまり、証明論が論理式の証明における振る舞いを研究するのに対し、モデル理論は論理式の構成要素に数学的対象を割り当てる解釈（モデル）を研究します。
普遍代数学では関数記号のみを扱うのに対し、モデル理論では関係記号も考慮に入れます。また、代数幾何学が体上の定義可能集合を扱うのに対し、モデル理論はより一般的なモデルにおける代数的集合を考察します。
モデル理論は、古典モデル理論、群や体への応用、幾何学的モデル理論などに分類されますが、これらは厳密な区分ではありません。計算可能モデル理論は独立した分野とみなされることもあります。
古典モデル理論の初期の成果には、ゲーデルの完全性定理、レーヴェンハイム-スコーレムの定理、ヴォートのtwo-cardinal定理などがあります。モデル理論の体への応用例としては、タルスキの実閉体に関する量化記号消去法、アックスの擬有限体に関する定理、ロビンソンの超準解析の開発などがあります。また、安定理論の誕生はモデル理論の発展において重要なステップとなり、幾何学的モデル理論へと繋がっています。
幾何学的モデル理論は、さまざまな数学的構造における定義可能集合を詳細に研究し、数学の地理学を提供することを目標としています。例えば、関数体に関するモーデル-ラング予想のフルショフスキーによる証明は、幾何学的モデル理論の成果の一つです。
自然数に関するペアノの公理のような公理系とそのモデルを考えることで、モデル理論における統語論と意味論の基本的な関係を理解できます。通常の連続数がモデルを構成する一方、スコーレムは別のモデル（算術の超準モデル）を開発しました。これは、特定のモデルにおいて言語や理論を解釈することによって何が意味されるのかを示しています。また、群の公理を群によって与えられたモデルの文脈で解釈することも、伝統的な例です。
普遍代数は、シグネチャ σ と σ-代数を根本的な概念としています。モデル理論は、普遍代数と密接に関連しており、特に有限モデル理論は、有限代数やシグネチャ σ の有限 σ-構造を主な対象としています。
普遍代数がシグネチャの意味論を与える一方、論理は統語論を与えます。一階述語論理は、量化や否定を明確に取り入れたもので、普遍代数が持つ統語論のツールを拡張したものです。
モデル理論を数学的対象のクラスに応用する際、最初のステップは、シグネチャ σ を選択し、その対象を σ-構造で表現することです。次に、そのクラスが初等クラス（一階述語論理で公理化可能）であることを示す必要があります。例えば、木のクラスは連結性が一階述語論理で表現できないため、このステップで失敗します。公理化可能性は、モデル理論が妥当な対象について議論することを保証します。また、量化記号消去法は、理論がその対象について過度に多くのことを語らないようにします。理論 T におけるすべてのモデルの下位構造が初等下位構造である場合、T はモデル完全であると言われます。
一階述語論理は、有限でない限り、同形な一意のモデルを記述することができません。しかし、モデル理論の定理は、基数 κ に関する κ-範疇性の概念を扱います。理論 T の濃度 κ のモデルがすべて同形である場合、T は κ-範疇的であると言います。κ-範疇性の問題は、κ が言語の濃度よりも大きいかどうかに大きく依存します。有限または可算のシグネチャの場合、非可算の κ について、ℵ₀-濃度と κ-濃度の間に大きな違いがあることがわかります。
集合論は可算言語で表現されていますが、可算モデルを持ちます。これはスコーレムのパラドックスとして知られています。集合論の文が可算モデルでも真であることから、非可算集合の存在を仮定している集合論の文も可算モデルにおいても真となります。特に、連続体仮説の独立性の証明は、モデル内では非可算に見えるが、モデル外から見ると可算になるような集合を必要とします。モデル理論の観点は、集合論にとって有用であり、ゲーデルやコーエンによる強制法を用いた構成可能集合の研究は、選択公理や連続体仮説の独立性を証明するのに役立ちました。
モデル理論には、縮小と拡大、解釈可能性、コンパクト性定理と完全性定理など、多くの重要な概念があります。ゲーデルの完全性定理は、理論が無矛盾である場合に限り、モデルを持つことを示しています。コンパクト性定理は、文の集合のすべての有限部分集合が充足可能であれば、その集合全体も充足可能であることを示しています。モデル理論は通常、一階述語論理と結び付けられており、多くの重要な結果は二階述語論理やその他の代替理論では成り立ちません。レーヴェンハイム-スコーレムの定理は、可算言語を持つ無限モデルは、すべての文においてそのモデルと一致するすべての無限濃度のモデルを持つことを示しています。
モデル理論は20世紀中頃から独立した分野として存在していますが、それ以前にもモデル理論的な性質を持つ研究が数多くありました。レーヴェンハイムは1915年に下方レーヴェンハイム-スコーレムの定理の特別なケースを発表し、コンパクト性定理はゲーデルの完全性定理の証明中の補題として1930年に初めて発表されました。レーヴェンハイム-スコーレムの定理とコンパクト性定理は、モルツェフによって1936年と1941年に一般的な形で定式化されました。
モデル理論は、数学の様々な分野における構造の研究に不可欠なツールとなっています。
モデル理論の概要
モデル理論は、論理式の操作的意味論を扱う証明論に対し、表示的意味論の役割を担います。つまり、証明論が論理式の証明における振る舞いを研究するのに対し、モデル理論は論理式の構成要素に数学的対象を割り当てる解釈（モデル）を研究します。
普遍代数学では関数記号のみを扱うのに対し、モデル理論では関係記号も考慮に入れます。また、代数幾何学が体上の定義可能集合を扱うのに対し、モデル理論はより一般的なモデルにおける代数的集合を考察します。
モデル理論は、古典モデル理論、群や体への応用、幾何学的モデル理論などに分類されますが、これらは厳密な区分ではありません。計算可能モデル理論は独立した分野とみなされることもあります。
古典モデル理論の初期の成果には、ゲーデルの完全性定理、レーヴェンハイム-スコーレムの定理、ヴォートのtwo-cardinal定理などがあります。モデル理論の体への応用例としては、タルスキの実閉体に関する量化記号消去法、アックスの擬有限体に関する定理、ロビンソンの超準解析の開発などがあります。また、安定理論の誕生はモデル理論の発展において重要なステップとなり、幾何学的モデル理論へと繋がっています。
幾何学的モデル理論は、さまざまな数学的構造における定義可能集合を詳細に研究し、数学の地理学を提供することを目標としています。例えば、関数体に関するモーデル-ラング予想のフルショフスキーによる証明は、幾何学的モデル理論の成果の一つです。
具体例
自然数に関するペアノの公理のような公理系とそのモデルを考えることで、モデル理論における統語論と意味論の基本的な関係を理解できます。通常の連続数がモデルを構成する一方、スコーレムは別のモデル（算術の超準モデル）を開発しました。これは、特定のモデルにおいて言語や理論を解釈することによって何が意味されるのかを示しています。また、群の公理を群によって与えられたモデルの文脈で解釈することも、伝統的な例です。
普遍代数とモデル理論
普遍代数は、シグネチャ σ と σ-代数を根本的な概念としています。モデル理論は、普遍代数と密接に関連しており、特に有限モデル理論は、有限代数やシグネチャ σ の有限 σ-構造を主な対象としています。
普遍代数がシグネチャの意味論を与える一方、論理は統語論を与えます。一階述語論理は、量化や否定を明確に取り入れたもので、普遍代数が持つ統語論のツールを拡張したものです。
公理化可能性、量化記号消去、モデル完全性
モデル理論を数学的対象のクラスに応用する際、最初のステップは、シグネチャ σ を選択し、その対象を σ-構造で表現することです。次に、そのクラスが初等クラス（一階述語論理で公理化可能）であることを示す必要があります。例えば、木のクラスは連結性が一階述語論理で表現できないため、このステップで失敗します。公理化可能性は、モデル理論が妥当な対象について議論することを保証します。また、量化記号消去法は、理論がその対象について過度に多くのことを語らないようにします。理論 T におけるすべてのモデルの下位構造が初等下位構造である場合、T はモデル完全であると言われます。
範疇性
一階述語論理は、有限でない限り、同形な一意のモデルを記述することができません。しかし、モデル理論の定理は、基数 κ に関する κ-範疇性の概念を扱います。理論 T の濃度 κ のモデルがすべて同形である場合、T は κ-範疇的であると言います。κ-範疇性の問題は、κ が言語の濃度よりも大きいかどうかに大きく依存します。有限または可算のシグネチャの場合、非可算の κ について、ℵ₀-濃度と κ-濃度の間に大きな違いがあることがわかります。
モデル理論と集合論
集合論は可算言語で表現されていますが、可算モデルを持ちます。これはスコーレムのパラドックスとして知られています。集合論の文が可算モデルでも真であることから、非可算集合の存在を仮定している集合論の文も可算モデルにおいても真となります。特に、連続体仮説の独立性の証明は、モデル内では非可算に見えるが、モデル外から見ると可算になるような集合を必要とします。モデル理論の観点は、集合論にとって有用であり、ゲーデルやコーエンによる強制法を用いた構成可能集合の研究は、選択公理や連続体仮説の独立性を証明するのに役立ちました。
モデル理論のその他の概念
モデル理論には、縮小と拡大、解釈可能性、コンパクト性定理と完全性定理など、多くの重要な概念があります。ゲーデルの完全性定理は、理論が無矛盾である場合に限り、モデルを持つことを示しています。コンパクト性定理は、文の集合のすべての有限部分集合が充足可能であれば、その集合全体も充足可能であることを示しています。モデル理論は通常、一階述語論理と結び付けられており、多くの重要な結果は二階述語論理やその他の代替理論では成り立ちません。レーヴェンハイム-スコーレムの定理は、可算言語を持つ無限モデルは、すべての文においてそのモデルと一致するすべての無限濃度のモデルを持つことを示しています。
モデル理論の初期の歴史
モデル理論は20世紀中頃から独立した分野として存在していますが、それ以前にもモデル理論的な性質を持つ研究が数多くありました。レーヴェンハイムは1915年に下方レーヴェンハイム-スコーレムの定理の特別なケースを発表し、コンパクト性定理はゲーデルの完全性定理の証明中の補題として1930年に初めて発表されました。レーヴェンハイム-スコーレムの定理とコンパクト性定理は、モルツェフによって1936年と1941年に一般的な形で定式化されました。
モデル理論は、数学の様々な分野における構造の研究に不可欠なツールとなっています。
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