内部自己同型

内部自己同型写像についての詳細

概要

抽象代数学の分野において、内部自己同型写像（inner automorphism）は重要な役割を果たします。この写像は、特定の操作を通じて、一次的な変換を行い、その後に元の操作の逆を適用するという手法で定義されます。ここで、この操作は数学的に記号で表すことができ、群 G の任意の元 x に対して、固定された元 a を基にした写像を考えます。具体的には、次のように表記されます。

$$ f^{-1} frac{g}{f}(X) $$

この式は、まず元 a によって変換された x を得ること、その後の操作 g を施し、最終的に aの逆で再度変換を施す流れを示しています。

共役と共軛元

抽象代数学では、元 x を固定すると、変換された形 a^{-1}xa は a による x の共軛（conjugate）と呼ばれます。この変換により、元 x から新しい元 a^{-1}xa を生成する過程を共役変換（conjugation）または相似変換（similarity transformation）と呼びます。ここで重要なのは、ある元が共役であるかどうかが、元間の関係を示す手立てとなる点です。共役の結果、元 x が変わらない場合と新たな元が得られる場合とがあります。

更に、この関係性の中で、以下が成立します。

• - $ a^{-1}xa = x $ ならば、元 a と元 x は可換である。
• - $ ax = xa $ 同様の関係が成り立つ。これらは内部自己同型が群の特性を測る手段の一つとなります。

内部自己同型群

それでは、内部自己同型が形成する構造とはどのようなものでしょうか？群 G の内部自己同型全てを集めた集合を Inn(G) と呼び、これ自体が群を形成します。さらに、Inn(G) は群 G の自己同型全体を集めた自己同型群 Auto(G) の中の正規部分群に位置づけられます。このため、商群 Out(G) が定義され、G の自己同型の中で内部自己同型でない元の性質を測定するツールとして用いられます。

内部自己同型の特性

内部自己同型が群 G の自己同型であることは明らかです。重要なのは、これが群の性質にどう影響するかということです。たとえば、ある群が非可換であれば、内部自己同型を書き表す方法の一つとして、特定の元に依存する構造が形成されます。このような性質は群の分類にも役立ちます。

環やリー代数における内部自己同型

内部自己同型の概念は、環やリー代数においても広く適用されます。環 R において、単元 u を使った写像 $ f(x) = u^{-1}xu $ もまた環の内部自己同型となり、リー代数の内部自己同型においては、随伴写像を用いることが一般的です。

拡張の可能性

さらに、G が環 A の単元群として形成される際、内部自己同型の概念は行列環を介して拡張可能です。このような拡張は、特に古典群の内部自己同型において顕著に見られます。

まとめ

内部自己同型写像は、代数学における基本的な概念であり、群の理論を深く理解する上で重要です。その性質、構造、そして他の数学的概念への関連性は、多くの数学者にとって興味深い研究対象となっています。

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