商群
商群（しょうぐん、英: quotient group, factor group）は、数学の抽象代数学、特に群論において、もとの群の構造を保ちつつ、要素を特定の基準で「同一視」して新たな群を構成する手法、およびその結果得られる群を指します。これにより、複雑な群の構造を、より単純な構造を持つ「部品」に分解して理解することが可能になります。例えば、日常的な合同算術における「nを法とする剰余類」は、整数の加法群から商群を構成する典型的な例として捉えることができます。
商群を構成するには、「剰余類（coset）」と「正規部分群（normal subgroup）」の概念が不可欠です。群 G の部分群 H が与えられたとき、G の元 a に対し、aH = {ah | h ∈ H} を H による G の左剰余類、Ha = {ha | h ∈ H} を H による G の右剰余類と呼びます。部分群 N が正規部分群であるとは、G の任意の元 a に対して左剰余類と右剰余類が一致すること、すなわち aN = Na が成り立つことを言います。正規部分群 N は N ◁ G と表記されます。
群 G の正規部分群 N があるとき、N による G のすべての左剰余類からなる集合 G/N = {aN | a ∈ G} に、次のように群演算を定義します。G/N の二つの元 aN と bN に対して、積を (aN)(bN) と定めます。N が正規部分群であるという性質を用いると、この積は代表元の積 ab に対応する剰余類 (ab)N と一致することが証明できます。この演算のもとで、集合 G/N は群となります。この群を G の N による商群と呼びます。
商群 G/N において、単位元は正規部分群 N 自身（これは eN とも書けます）であり、元 aN の逆元は a⁻¹N です。正規部分群の定義により、左剰余類全体の集合と右剰余類全体の集合は一致するため、どちらの剰余類を用いても同じ商群が得られます。
商群は、群論における「準同型（homomorphism）」、すなわち群の構造を保つ写像と深く関連しています。群 G から群 H への準同型 φ が与えられたとき、その像 Im(φ) は G の φ の核 ker(φ) による商群 G/ker(φ) と同型であることが、第一同型定理として知られています。ここで核 ker(φ) は、常に G の正規部分群となります。この定理は、準同型による写像先での構造が、写像元での「潰れる」部分（核）によってどのように決まるかを示しており、群の構造を解析する上で非常に強力な道具となります。
商群 G/N は、もとの群 G から正規部分群 N の構造を「取り除いた」あるいは「潰した」結果として得られる群とみなすことができます。これは、群 G を部分群 N と商群 G/N の観点から理解するための基礎となります。
商群はいくつかの重要な性質を持ちます。もしもとの群 G がアーベル群、冪零群、可解群、巡回群、または有限生成群であれば、その商群 G/N も同じ性質を持ちます。商群 G/N の位数（要素の数）は、正規部分群 N の G における指数 [G : N] に等しくなります。G が有限群であれば、これは G の位数を N の位数で割った値 |G|/|N| に他なりません。
群 G から商群 G/N への写像 π: G → G/N を π(g) = gN と定義すると、これは核が N である全射群準同型となります。この写像は「自然な射影」と呼ばれます。また、正規部分群 N を含む G の部分群と、商群 G/N の部分群の間には一対一の対応が存在することが知られています（対応定理）。特に、指数が2である任意の部分群は必ず正規部分群となり、その商群は位数2の巡回群と同型になります。
具体的な例をいくつか挙げます。
整数の加法群 Z と、任意の正整数 n に対する n の倍数全体のなす部分群 nZ を考えます。Z はアーベル群なので nZ は正規部分群です。商群 Z/nZ は、n を法とする合同類全体のなす群であり、位数 n の巡回群と同型です。これは合同算術の基本的な構造です。
実数の加法群 R と、その部分群である整数の集合 Z を考えます。Z は R の正規部分群です。商群 R/Z は、絶対値が1の複素数全体のなす乗法群（円周群 S¹ と呼ばれる）と同型になります。
* 位数4の巡回群 Z₄ = {0, 1, 2, 3}（4を法とする加法）と、その部分群 N = {0, 2} を考えます。N は正規部分群です。商群 Z₄/N は、剰余類 {0, 2} と {1, 3} の二つの元からなり、2を法とする加法群 Z₂ と同型になります。
このように、商群は群の構造を「割り算」や「射影」の視点から理解するための強力な枠組みを提供し、様々な数学分野で応用されています。
定義と構成
商群を構成するには、「剰余類（coset）」と「正規部分群（normal subgroup）」の概念が不可欠です。群 G の部分群 H が与えられたとき、G の元 a に対し、aH = {ah | h ∈ H} を H による G の左剰余類、Ha = {ha | h ∈ H} を H による G の右剰余類と呼びます。部分群 N が正規部分群であるとは、G の任意の元 a に対して左剰余類と右剰余類が一致すること、すなわち aN = Na が成り立つことを言います。正規部分群 N は N ◁ G と表記されます。
群 G の正規部分群 N があるとき、N による G のすべての左剰余類からなる集合 G/N = {aN | a ∈ G} に、次のように群演算を定義します。G/N の二つの元 aN と bN に対して、積を (aN)(bN) と定めます。N が正規部分群であるという性質を用いると、この積は代表元の積 ab に対応する剰余類 (ab)N と一致することが証明できます。この演算のもとで、集合 G/N は群となります。この群を G の N による商群と呼びます。
商群 G/N において、単位元は正規部分群 N 自身（これは eN とも書けます）であり、元 aN の逆元は a⁻¹N です。正規部分群の定義により、左剰余類全体の集合と右剰余類全体の集合は一致するため、どちらの剰余類を用いても同じ商群が得られます。
重要性
商群は、群論における「準同型（homomorphism）」、すなわち群の構造を保つ写像と深く関連しています。群 G から群 H への準同型 φ が与えられたとき、その像 Im(φ) は G の φ の核 ker(φ) による商群 G/ker(φ) と同型であることが、第一同型定理として知られています。ここで核 ker(φ) は、常に G の正規部分群となります。この定理は、準同型による写像先での構造が、写像元での「潰れる」部分（核）によってどのように決まるかを示しており、群の構造を解析する上で非常に強力な道具となります。
商群 G/N は、もとの群 G から正規部分群 N の構造を「取り除いた」あるいは「潰した」結果として得られる群とみなすことができます。これは、群 G を部分群 N と商群 G/N の観点から理解するための基礎となります。
性質と例
商群はいくつかの重要な性質を持ちます。もしもとの群 G がアーベル群、冪零群、可解群、巡回群、または有限生成群であれば、その商群 G/N も同じ性質を持ちます。商群 G/N の位数（要素の数）は、正規部分群 N の G における指数 [G : N] に等しくなります。G が有限群であれば、これは G の位数を N の位数で割った値 |G|/|N| に他なりません。
群 G から商群 G/N への写像 π: G → G/N を π(g) = gN と定義すると、これは核が N である全射群準同型となります。この写像は「自然な射影」と呼ばれます。また、正規部分群 N を含む G の部分群と、商群 G/N の部分群の間には一対一の対応が存在することが知られています（対応定理）。特に、指数が2である任意の部分群は必ず正規部分群となり、その商群は位数2の巡回群と同型になります。
具体的な例をいくつか挙げます。
整数の加法群 Z と、任意の正整数 n に対する n の倍数全体のなす部分群 nZ を考えます。Z はアーベル群なので nZ は正規部分群です。商群 Z/nZ は、n を法とする合同類全体のなす群であり、位数 n の巡回群と同型です。これは合同算術の基本的な構造です。
実数の加法群 R と、その部分群である整数の集合 Z を考えます。Z は R の正規部分群です。商群 R/Z は、絶対値が1の複素数全体のなす乗法群（円周群 S¹ と呼ばれる）と同型になります。
* 位数4の巡回群 Z₄ = {0, 1, 2, 3}（4を法とする加法）と、その部分群 N = {0, 2} を考えます。N は正規部分群です。商群 Z₄/N は、剰余類 {0, 2} と {1, 3} の二つの元からなり、2を法とする加法群 Z₂ と同型になります。
このように、商群は群の構造を「割り算」や「射影」の視点から理解するための強力な枠組みを提供し、様々な数学分野で応用されています。
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