円 (数学)

円の定義と基本的な性質

数学において円（えん、英: circle）は、平面上の特定の点O（オー）からの距離が常に一定である点の集合によって構成される曲線です。この特定の点を「円の中心」と称し、円周上の任意の点と中心Oを結ぶ線分を「半径」と呼び、その長さをrと表します。

円という用語は、単に円周だけでなく、円の内部を含めた全体を指すこともあります。円周は「円周 (circumference)」として区別され、内部の領域は「円板 (disk)」と呼ぶことがあります。また、円の形状は一般的に「円形」とも言われ、中心Oに基づいて「円O（えんオー）」という表現が用いられます。

円の性質

弦と弧

円周に直線が交わる場合、その交点をAとBとすると、線分ABは円の「弦」となります。特に円の中心を通る線分を「直径」と呼び、直径は半径の2倍に相当します。また、円周は割線によって異なる弧に分けられ、それぞれの弧は「優弧」と「劣弧」と名付けられます。

中心角と円周角

弧ABに対して、弧AB上にない任意の点Pを選ぶと、∠APBが「円周角」となります。円周角はその弧に対する中心角AOBの半分に等しいという特性を持ちます。

接線

円周に対して直線が1点で接しているとき、その直線を「円の接線」と呼び、接点を「接点」と言います。接点における円の半径は接線と直交します。外部点Aから円に対して2つの接線を引くことができ、その接点をSとTで表すと、接線の長さは等しくなります。

2つの円の関係

2つの円AとBの関係には、円Aが円Bの内部にある場合や、円Aが円Bに接している場合など、さまざまな位置関係があります。同心円や内接、外接の関係もこの中に含まれます。また、円が共通弦を持つ場合の性質や共通接線についても独自の定理があります。

円の方程式

円の方程式は解析幾何学において特に重要です。中心を(a, b)とし、半径をrとした場合、円は次の方程式で表されます。

```
(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2
```

この方程式は、任意の点(x, y)が円の中心からの距離がrであることを示しており、円の性質を数学的に表現しています。

幾何学における円の役割

円は三角形やその他の多くの幾何学的な課題においても重要な役割を果たします。円は、九点円やフォイエルバッハの定理など、様々な定理や概念の中で頻繁に現れます。

円は、三次元空間では球として一般化され、円周の概念はより高次元の幾何学でも応用されます。円の基本的な性質とその応用は、数学の多くの分野で利用されています。

このように、円は単なる幾何学的図形であるだけでなく、数学において非常に多くの定義や概念を含む重要なテーマです。

もう一度検索