図形
図形（ずけい、shape）とは
図形は、一定の法則に基づいて定義される多様な形状を示し、幾何学の基本的な要素として位置付けられています。図形は、視覚的に認識された「かたち」に対して、感覚を排除し、論理的な定義や公理を用いて体系的に研究される対象です。
幾何学における図形の位置付け
幾何学は、数学の一分野として図形に関して深く考察します。特に、ユークリッド幾何学は古典的な幾何学の基本として広く知られており、ユークリッドの『原論』に示された原則に基づいています。この学問では、図形はコンパスや定規を用いて作図され、点、直線、円、さらには平面や球といった多様な要素から構成されます。
クラインのエルランゲン目録
1872年にクラインが発表したエルランゲン目録は、ユークリッド幾何学を含むさまざまな幾何学の体系を、変換という観点から統一的に説明しようとしたものです。ここでは、図形は運動や変換に対して不変である性質を持つ点集合として理解されます。この視点により、図形は単なる形状に留まらず、動きや変化に関連づけられるものとされます。
リーマン幾何学の確立
同じ時期、リーマンはガウスの研究に触発され、曲がった空間における曲率などの特性を基に、曲面を独立した幾何学的対象として扱う新たなアプローチを展開しました。リーマン幾何学またはリーマン多様体の概念を確立することで、図形は単に空間内の点の集合としてではなく、より広い意味で空間そのものを示すものとして理解されるようになりました。このように、リーマンの理論は、図形に対する見方を革新し、空間の特性を考慮した幾何学的理解を促進しました。
まとめ
図形は、幾何学において重要な役割を果たす基本的な概念です。ユークリッド幾何学から非ユークリッド幾何学、さらにはリーマン幾何学に至るまで、様々な理論や見解が進化してきました。これらの研究は、図形の本質やその性質を深く探求するための土台を築き、数学や物理学、工学など多くの分野での応用に寄与しています。
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