凸多角形

凸多角形：幾何学における重要な概念

初等幾何学において、凸多角形とは、自己交叉を持たない単純な多角形の一種です。その特徴は、多角形内部または境界上の任意の2点を結ぶ線分が、常にその多角形の内側にとどまる点にあります。言い換えると、多角形のどの辺も内側にへこんでいない、膨らんだ形状をしています。

凸多角形の定義と性質

凸多角形は、以下のいずれかの条件を満たす多角形として定義できます。

1. 内角の条件: すべての内角が180度以下である。狭義凸多角形の場合は、すべての内角が180度未満となります。
2. 線分包含条件: 内部または境界上の任意の2点を結ぶ線分上のすべての点が、多角形の内部または境界上に存在する。
3. 対角線包含条件: 対角線の両端以外のすべての点が、多角形の内部に含まれる。
4. 半平面包含条件: 多角形は、任意の辺が定める閉半平面に完全に含まれる。
5. 辺と内点の位置関係: 各辺に対し、多角形の内点はすべて、その辺の延長線に対して同じ側にある。
6. 頂点が見込む角: 各頂点が見込む角は、他のすべての頂点を内部または辺上に含む。
7. 凸包条件: 多角形は、その辺全体の成す部分点集合の凸包である。

これらの条件は全て同値であり、いずれかを満たせば凸多角形であると判断できます。

凸多角形のさらなる性質

凸多角形は、以下の興味深い性質も持ちます。

交差の凸性: 二つの凸多角形の交わりもまた、凸多角形となる。
三角形分割: 凸多角形は、扇形分割を用いることで線形時間で三角形分割できる。これは、計算幾何学において非常に重要な性質です。
ヘリーの定理: 少なくとも3つの凸多角形からなる族において、どの3つの交わりも空でないならば、族全体の交わりも空でない。
クレイン＝ミルマンの定理: 凸多角形は、その頂点集合の凸包である。これは、凸多角形をその頂点集合によって完全に定義できることを意味します。
超平面分離定理: 共有点を持たない2つの凸多角形は、それらを分離する直線が存在する。
内接三角形性質: 凸多角形に含まれる任意の三角形に対し、それを含む面積極大な三角形で、その頂点がもとの多角形の頂点となっているものが存在する。
三角形内接性質: 面積Aの任意の凸多角形は、面積高々2Aの三角形に内接できる。
内接矩形外接性質: 任意の平面凸図形Cに対し、Cに含まれる内接矩形rと、rの中心相似拡大Rが存在し、RはCに外接し、面積に関して特定の不等式を満たす。
平均幅: 凸多角形の平均幅は、その周長をπで割ったものと等しい。
円内接多角形: 円に内接する任意の多角形は、自己交叉を持たないならば凸多角形である。しかし、すべての凸多角形が円に内接できるわけではない。

狭義凸多角形

狭義凸多角形は、すべての内角が180度未満であるという、より強い条件を満たす凸多角形です。これは、辺が直線状に伸びていないことを意味します。狭義凸多角形についても、上記と同様の性質が成り立ちます。

関連概念

凸多角形と関連する重要な概念として、凸多面体、円内接多角形、円外接[[多角形]]などがあります。これらの概念は、幾何学におけるより高度な議論において重要な役割を果たします。

参考文献

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