凹四角形

凹四角形：その性質と特徴

凹四角形は、その名の通り、へこんだ形状を持つ四角形です。正確には、内角の大きさが180°を超える頂点を少なくとも1つ持つ四角形を指します。矢じり形や楔形と呼ばれることもあります。一見単純な形状に見えますが、凸四角形とは異なる幾何学的な性質を数多く持ちます。

凸四角形との共通点と相違点

凹四角形と凸四角形には共通する性質もありますが、凹四角形特有の性質も存在します。まず、共通する性質として、内角の和は360°です。これは凸四角形と変わりません。また、ある頂点の外角は、残りの3つの内角の和に等しくなります。例えば、四角形ABCDにおいて、頂点Bの外角は∠A＋∠C＋∠Dと等しくなります。さらに、点Bを中心とする円周上にA, C, Dの3点が位置する場合、頂点Bの外角は∠Dの2倍になります（円周角の定理）。

しかし、凹四角形は凸四角形とは大きく異なる性質も示します。まず、凹図形であるため、四角形内部の2点を結ぶ線分が四角形の外にはみ出す場合があります。また、その凸包（図形を囲む最小の凸多角形）は三角形となります。さらに、2本の対角線のうち少なくとも1本は四角形の内部を通らず、へこんだ頂点における外角は定義できません。そして、重要な点として、凹四角形には内接円（四角形の全ての辺に接する円）と外接円（四角形の全ての頂点を通る円）が存在しません。

教育における扱い

これらの性質から、凹四角形は凸四角形と比較して、幾何学的な取り扱いが複雑になります。対角線が内部で交点を持たない、外角が定義できないなどの理由から、日本の初等中等教育においては、四角形の分類に含めない、もしくは軽く触れる程度に留める場合が多いようです。これは、初学者にとって、凹四角形の性質を理解し、扱うことが比較的困難であるためと考えられます。

まとめ

凹四角形は、内角が180°を超える頂点を持つ特殊な四角形です。内角の和は360°と凸四角形と同じですが、対角線や外角、内接円・外接円に関する性質は大きく異なり、凸四角形とは異なる幾何学的性質を有します。その複雑さから、初等教育では詳細な扱いは避けられる傾向がありますが、幾何学を深く学ぶ上では重要な図形と言えるでしょう。凹四角形の性質を理解することは、より複雑な幾何学図形を理解するための基礎となります。

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