凹多角形

凹多角形：幾何学における複雑な形状

幾何学において、単純多角形は凸多角形と凹多角形に大別されます。凸多角形とは、多角形内部の任意の2点を結ぶ線分が常に多角形内部に含まれる形状です。一方、凹多角形は、その定義から外れる形状であり、いくつかの特徴的な性質を持っています。

凹多角形の定義と性質

凹多角形とは、少なくとも一つの内角が180度より大きく360度より小さい角度を持つ多角形です。この内角は「凹角」と呼ばれます。凹多角形は、その形状ゆえに、凸多角形とは異なる幾つかの幾何学的性質を示します。

1. 内点を通る直線との交点: 凹多角形の内点を通る直線は、多角形の境界と2点以上で交わる場合があります。これは、凸多角形では起こり得ない現象です。

2. 対角線の位置: 凹多角形の対角線の一部または全体が多角形の外側に位置することがあります。凸多角形では、全ての対角線は多角形内部にあります。

3. 辺の延長線と多角形の位置関係: 凹多角形の辺を延長した直線で平面を分割すると、一方の半平面が凹多角形を完全に含むとは限りません。凸多角形では、必ずどちらかの半平面が完全に多角形を含みます。

これらの性質は、凹多角形を凸多角形と明確に区別する重要な特徴です。

内角の和

辺の数がnである任意の単純多角形（凸多角形と凹多角形を含む）の内角の和は、(n-2)×180度で表されます。凹多角形もこの公式に従います。これは、凹多角形の内角の和が凸多角形と変わらないことを示しています。

凹多角形の分割

凹多角形は、複数の凸多角形に分割することができます。この分割は必ず可能です。Chazelle & Dobkin (1985) によると、凹多角形を可能な限り少ない数の凸多角形に分割する線形時間アルゴリズムが存在します。このアルゴリズムは、計算効率の観点から非常に重要です。

三角形と凹多角形

三角形は、凹多角形になることはありません。全ての三角形の内角の和は180度であり、どの内角も180度を超えることはありません。しかし、四辺形以上の多角形は、凹多角形になる可能性があります。例えば、鏃型（凹凧形）は凹四辺形の代表的な例です。

凸包との関係

凹多角形の頂点全体の凸包は、もとの凹多角形よりも広い範囲を覆います。つまり、凸包は凹多角形の外側の点を含みます。これは、凹多角形がその形状から凸包を用いて表現することができることを示しています。

結論

凹多角形は、凸多角形とは異なる幾何学的性質を持つ、複雑な形状です。その性質を理解することは、幾何学の問題解決やアルゴリズム設計において重要です。本稿では、凹多角形の定義、特徴的な性質、そして凸多角形との違いについて解説しました。これらの理解は、より高度な幾何学の学習に繋がります。

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