函数体 (スキーム論)

スキームの有理函数体の層 KX

スキーム論における有理函数体の層KXは、古典的な代数幾何学で中心的な役割を担う代数多様体の函数体という概念を、より一般的な枠組みであるスキームへと拡張したものです。

古典的な代数多様体の場合

古典的な意味での代数多様体を考える場合、有理函数体の層は比較的直感的に理解できます。多様体Xの任意の開集合Uに対して、KX(U)はU上で定義される全ての有理函数の集合、すなわち、U上で正則な函数の分数の集合として定義されます。この定義から、各KX(U)は函数の環となり、層としての性質を満たします。名前は「函数体」ですが、これは局所的な性質を記述する層であり、必ずしも各開集合上の環が体になるわけではありません。

整スキームの場合

Xが既約なアフィン代数多様体であるような単純なケースでは、KXの定義はより明確です。Xの開集合Uに対し、KX(U)はU上の正則函数の環の商体として与えられます。特に、Xがアフィンであることから、U上の正則函数の環は、X全体での大域切断の環の局所化と見なすことができ、結局KXはX全体の大域切断の環の商体に値をとる定数層となります。

Xが整スキームであるものの、アフィンではない場合も、KXの振る舞いは比較的よく制御されます。このとき、Xの任意の空でないアフィン開部分集合は、Xの中で稠密になります。これは、ある開集合U上での有理函数の振る舞いが、X全体での有理函数の振る舞いを強く反映することを意味します。実際、このような場合、どの開集合U上で考えても、U上の正則函数の環の商体は全て同じ体になります。したがって、KX(U)は、Xの任意のアフィン開部分集合上の正則函数の環の商体として定義できます。これはアフィン開部分集合の選び方によらずに定まります。あるいは、整スキームの場合は、その生成点における局所環として函数体を定義することも可能です。

一般的なスキームの場合

Xが整スキームでない場合に、定義に問題が生じます。整でないスキームでは、正則函数の環が零因子を持ち得るため、単純に商体を構成することができません。零因子を含む環に対しては商体が存在しないからです。この問題に対して、一つの単純なアプローチとして、商体を全ての零因子でない元を可逆にした「全商環」で置き換えるという考えが浮かびます。しかし、残念ながら、この全商環を各開集合に割り当てるだけでは、一般的には層の公理を満たさず、前層にすらならないことが知られています。このことは、専門的な文献で詳しく論じられています。

正しい定義

整でない一般的なスキームXに対するKXの正しい定義は、より洗練された方法で行われます。

まず、各開集合Uに対して集合SUを定めます。SUは、U上の正則函数の環Γ(U, OX)の元であって、Xの任意の点xにおける茎OX,xにおいて零因子とならないもの全体の集合です。次に、前層KXpreを構成します。この前層では、開集合U上の切断をSUによる局所化 SU⁻¹Γ(U, OX) として定義します。制限写像は、層OXの制限写像から局所化の普遍性を用いて自然に誘導されるものとします。

こうして得られた前層KXpreは、まだ層であるとは限りません。最終的に、スキームXの有理函数体の層KXは、この前層KXpreに伴う層（sheaf associated to a presheaf）として定義されます。

関連する事項

一度KXが定義されると、この層の性質だけを用いてスキームXの幾何学的な性質を研究することが可能になります。これは双対有理幾何学と呼ばれる分野の主要なテーマの一つです。

Xが体k上の代数多様体であるとき、任意の空でない開集合Uに対して、KX(U)は基礎体kの拡大体となります。このとき、開集合Uの次元は、この拡大体の超越次数に等しくなります。また、k上の任意の有限次超越拡大体は、ある代数多様体の有理函数体として実現できることが知られています。

特に、次元が1の代数曲線Cの場合を考えましょう。このとき、C上で定義される任意の二つの定数でない有理函数FとGは、必ずP(F, G) = 0のような多項式関係を満たします。これは、代数曲線上の函数体が1変数有理函数体との関係において超越次数1の拡大となることから従う性質です。

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