代数多様体の函数体

代数幾何学における函数体

代数幾何学において、代数多様体という図形を研究する上で非常に重要な役割を果たすのが「函数体（かんすうたい）」です。これは、直感的にはその多様体上で定義できる「有理函数」全体を集めてきたものと考えることができます。ちょうど、平面上の点 $(x, y)$ に対する有理函数が $P(x, y)/Q(x, y)$ （$P, Q$ は多項式、$Q
eq 0$）という形で表されるように、より一般的な多様体の上でも、そのような「分数の形をした関数」を考えたい、という要求から生まれてきた概念です。

この函数体の概念は、代数幾何学の発展に伴い、その捉え方が少しずつ洗練されてきました。

異なる視点からの定義

1. 古典的な視点: 初期には、函数体は多項式の比として定義されました。例えば、アフィン空間内の多様体であれば、その座標環（多様体上の多項式関数全体がなす環）の商体として考えられます。これは、多項式の「分数」全体を集めたものに相当します。

2. 複素解析的な視点: 複素代数幾何学、つまり複素数上で定義された多様体（複素解析多様体）を扱う分野では、函数体は多様体上のすべての有理型函数の集合として定義されます。有理型函数とは、大雑把に言えば、複素関数の中でも分数の形で表せるような良い性質を持った関数です。リーマン面（1次元の複素解析多様体）の場合、その上の大域的な有理型函数は、まさに古典的な意味での有理関数（複素多項式の比）と一致します。これらの有理型函数は、足し算と掛け算について閉じており、代数的な意味での体（field）を構成します。

3. 現代的なスキーム論の視点: 最も一般的で抽象的な現代の代数幾何学であるスキーム論においては、函数体はより統一的に定義されます。整（integral）なスキーム（多様体の一般化と考えられます）$X$ に対して、その函数体は、$X$ の「生成点（generic point）」と呼ばれる特別な点の局所環として定義されます。この定義は、古典的な定義や複素解析的な定義を包含するものです。例えば、整なアフィン環 $A$ に対応するアフィンスキームの場合、その生成点の局所環は $A$ の商体（分数体）に一致します。多様体全体は、開アフィン部分集合の貼り合わせとして考えられますが、それぞれの開アフィン部分集合の座標環の商体はすべて同型になり、それが多様体全体の函数体を与えると考えることができます。

函数体と幾何学のつながり

多様体 $V$ が体 $K$ 上で定義されているとき、その函数体 $K(V)$ は、基礎体 $K$ の体の拡大（より大きな体）となります。この体の拡大には「超越次元（transcendence degree）」という概念がありますが、驚くべきことに、この超越次元は多様体 $V$ の次元と正確に一致します。これは、函数体という代数的な対象が、多様体の次元という幾何学的な性質と深く結びついていることを示しています。

また、多様体の函数体だけを見て決まる幾何学的な性質は、双有理幾何学と呼ばれる分野で研究されます。これは、函数体が同じであるような多様体は、ある意味で「同じような形」をしているとみなせることを示唆しています。

具体例

いくつかの簡単な多様体の函数体を考えてみましょう。

体 $K$ 上の「一点」という多様体の函数体は、$K$ 自身です。
体 $K$ 上の「アフィン直線」（通常の数直線を一般化したもの）の函数体は、1変数多項式の比全体、つまり1変数有理関数体 $K(t)$ となります。これは、アフィン直線を拡張した「射影直線」の函数体とも同じです。
* 体 $K$ 上で定義されたアフィン平面曲線で、方程式 $y^2 = x^5 + 1$ によって定義されるものを考えます。この曲線の函数体は、体 $K$ に超越元 $x$ と $y$ を添加して得られる体 $K(x, y)$ であり、ただし $y^2 = x^5 + 1$ という関係式を満たすものとなります。

このように、函数体は多様体の種類に応じて様々な構造を持ち、その構造を調べることで多様体の幾何学的な性質を理解する手がかりが得られます。現代代数幾何学における非常に基本的な概念の一つと言えます。

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