商体

整域の分数体

数学において、整域の分数体（ぶんすうたい、英語: field of fractions）または商体（しょうたい、英語: field of quotients）とは、与えられた整域Rを部分環として含む最小の体として構成されるものです。これは、身近な例で言えば、整数全体の集合である整域Zから、有理数全体の集合である体Qが構成されるのと同様の考え方を、より一般的な整域に応用した概念です。商体の要素は、元の整域Rの元nと零でない元dを用いて、形式的な分数n/dの形で表現されます。

この概念は「分数体」「商体」「商の体」「分数の体」など様々な名称で呼ばれます。特に「商体」という呼び方は、環をそのイデアルで割って得られる商環（剰余環）と紛らわしいため、注意が必要です。分数体と剰余環は全く異なる数学的な構成です。

分数体の構成が適用できるのは、零因子を持たない任意の非自明な可換環、すなわち整域です。この際、元の環が乗法に関する単位元（1）を持つことは必ずしも仮定されません。

構成方法

整域R（零因子を持たず、零でない元を持つ可換環）に対する分数体Quot(R)は、以下のような手順で構成されます。

1. まず、Rの元nと零でないRの元dからなる順序対 (n, d) 全体を考えます。
2. 次に、これらの順序対の間に同値関係を定義します。対 (n, d) が対 (m, b) と同値であるのは、Rにおける nb = md という等式が成り立つ場合であり、またその場合に限ります。
3. この同値関係によって分けられる同値類全体の集合が、商体の台集合となります。対 (n, d) が属する同値類を、直感的な分数の記号を用いて n/d と表します。
4. この同値類の上で、和と積の演算を定義します。2つの同値類 n/d と m/b の和は (nb + md)/bd に対応する同値類、積は mn/bd に対応する同値類として定義されます。
$$ \frac{n}{d} + \frac{m}{b} = \frac{nb+md}{bd} $$
$$ \frac{n}{d} \cdot \frac{m}{b} = \frac{mn}{bd} $$
5. これらの演算に関して、同値類全体の集合は可換体となります。また、元の整域Rをこの分数体の中に自然に埋め込むことができます。例えば、Rに単位元1があれば、Rの元nは分数n/1として分数体に含まれると考えることができます。分数体における乗法単位元は1/1（またはe/e、ここでeはRの零でない元）、零でない要素m/dの逆元はd/mとなります。

普遍性

整域Rの商体Quot(R)は、ある重要な普遍性という性質によって特徴付けられます。それは、Rから任意の可換体Fへの単射環準同型fが存在すれば、Quot(R)からFへの環準同型gが一意的に存在し、fを延長する（つまり、Rの要素をQuot(R)経由でFに写す写像がfと一致する）という性質です。この性質は、商体が「整域Rを最小の体へ埋め込んだもの」であるという直感を厳密に述べたものです。

具体例

最も基本的な例は、有理整数環 Z の商体が有理数体 Q となることです。
ガウス整数環 {a + bi | a,b ∈ Z} の商体は、ガウス有理数の全体 {c + di | c,d ∈ Q} です。
体それ自身を整域と見なした場合、その商体は（同型を除いて）元の体自身になります。
体K上の1変数多項式環K[X]は整域であり、その商体は1変数有理関数体K(X)と呼ばれます。
一般に、体K上の多変数多項式環K[X1, ..., Xn]の商体は、多変数有理関数体K(X1, ..., Xn)です。
体K上の1変数形式的冪級数環KXも整域であり、その商体は1変数形式的ローラン級数体K((X))と呼ばれます。

関連概念

商体の構成は、より広範な環論の概念と関連しています。例えば、零因子を持つ環に対して同様の構成を試みる全商環や、特定の積閉集合で「分母」を許す環の局所化といった概念があります。これらも「商環」と呼ばれることがありますが、文脈によって意味が異なるため注意が必要です。特に、イデアルによる剰余環（商環）とは、構成法も得られる結果も全く異なる概念であることを再度強調しておきます。

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