分岐 (力学系)

分岐 (Bifurcation)

力学系における分岐とは、系を特徴づけるパラメータがわずかに変化した際に、その系の挙動や構造が質的に、あるいは位相的に大きく変化する現象を指します。この変化は、系の安定な状態（平衡点や周期軌道など）が生成されたり、消滅したり、安定性が失われたり、あるいはその構造自体が変化したりといった形で現れます。

分岐は、微分方程式によって記述されるような連続的な時間発展を伴う系（連続時間系）だけでなく、反復的な規則によって状態が更新される写像（離散時間系）においても発生します。非線形力学系を理解する上で非常に重要な概念であり、単純な原因から複雑な結果が生じる過程を明らかにする鍵となります。

ロジスティック写像に見る分岐

分岐の典型的な例として、ロジスティック写像のような比較的単純な非線形写像に見られる現象があります。ロジスティック写像は、あるパラメータの値を変化させていくと、系の挙動が劇的に変わる様子を示します。

パラメータが小さい間は、写像を繰り返し適用すると、やがて一つの安定した値に収束します。しかし、パラメータを増やしていくと、ある点でそれまで安定だった状態が不安定になり、二つの異なる値の間を周期的に振動するようになります。これは「周期倍分岐」と呼ばれる分岐現象の始まりです。

さらにパラメータを増加させると、今度はこの二つの値それぞれが不安定になり、四つの異なる値の間を振動するようになります。この周期倍分岐は次々と繰り返し発生し、振動の周期が倍、倍、…と増えていきます。そして、ある臨界点を超えると、周期倍分岐が無限に積み重なり、系は予測困難な不規則な振る舞いを示すようになります。これがカオスと呼ばれる状態です。

ロジスティック写像の例は、分岐という現象を通じて、単純な初期状態や規則からいかにして複雑な、さらにはカオス的な振る舞いが生じうるかを示しています。

主な分岐の種類

分岐現象には、その現れ方によっていくつかの主要な種類が知られています。これらは系の平衡点や周期解の安定性や数、構造の変化によって分類されます。

サドルノード分岐: 平衡点のペア（一つは安定、一つは不安定）が生成されたり、消滅したりする分岐です。
トランスクリティカル分岐: 二つの平衡点が衝突し、互いに安定性を交換する分岐です。
ピッチフォーク分岐: 一つの平衡点から三つの平衡点（元の点が不安定になり、両側に新しい安定または不安定な点が現れる）が枝分かれするように現れる分岐です。対称な系によく見られます。
ホップ分岐: 平衡点の安定性が失われる際に、その周囲に安定または不安定な周期軌道（リミットサイクル）が発生する分岐です。
周期倍分岐: 安定な周期解の周期が倍になる分岐です。これが繰り返されることで、しばしばカオスへの経路となります。
無限周期分岐: 平衡点の周囲にリミットサイクルが現れるホップ分岐と似ていますが、周期が無限大になることで発生するリミットサイクルの生成・消滅に関わる分岐です。
ホモクリニック分岐: サドル型の平衡点に漸近する軌道（ホモクリニック軌道）の構造が変化することで発生する複雑な分岐です。
ヘテロクリニック分岐: 異なる二つのサドル型平衡点を結ぶ軌道（ヘテロクリニック軌道）の構造が変化することで発生する分岐です。

これらの分岐は単独で、あるいは組み合わさって、様々な力学系における多様な振る舞いを引き起こします。

関連概念

分岐理論は、他のいくつかの重要な概念と関連が深いです。

分岐図: パラメータの値を横軸に、系の安定な状態（平衡点や周期点など）を縦軸にとって描かれる図です。パラメータの変化に伴う系の安定状態の移り変わりや分岐点が一目で分かります。ロジスティック写像でよく描かれます。
カタストロフィー: パラメータが連続的に変化しても、系の状態が不連続にジャンプする現象やそれを扱う理論です。分岐はカタストロフィー現象を引き起こすメカニズムの一つと見なされます。
相転移: 物理学において、物質の状態が温度や圧力などのパラメータ変化により、質的に劇的に変化する現象（例えば、水が氷や水蒸気になる）です。力学系の分岐は、このような相転移現象を理解するためのモデルとしても応用されることがあります。

分岐理論は、物理学、工学、生物学、化学、経済学など、様々な分野で非線形現象や系の安定性、複雑な挙動を解析するための強力なツールとなっています。

参考文献

桑村雅隆：「パターン形成と分岐理論：自発的パターン発生の力学系入門」、共立出版、ISBN 978-4-320-11004-5 (2015年1月10日).

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