サドルノード分岐

サドルノード分岐は、力学系における根幹的な分岐現象の一つとして知られています。系の挙動を決定するパラメータが変化する際に、力学系の状態が時間的に変化しなくなる点である固定点（連続力学系では平衡点、離散力学系では不動点）の数や性質が質的に変化することを「分岐」と呼びますが、サドルノード分岐はその中でも特に、固定点の生成や消滅という劇的な変化をもたらすタイプです。この分岐は、固定点の近傍だけで系の振る舞いが変化する「局所的分岐」に分類されます。

分岐の様相

この分岐の最も特徴的な現れ方は、固定点の「対生成」や「対消滅」です。パラメータを変化させていくと、それまで固定点が存在しなかった状態から、ある特定のパラメータ値で固定点が一つ現れます。さらにパラメータを変化させると、この固定点は二つに分裂します。分裂した一方の固定点は安定性を持ち（安定固定点）、もう一方は不安定性を持つ（不安定固定点）性質を持ちます。逆に、パラメータを変化させて二つの固定点が互いに近づいていくと、ある特定のパラメータ値で両者は衝突し、同時に消滅するという経過をたどります。安定な固定点と不安定な固定点がペアになって生成・消滅する、このプロセスこそがサドルノード分岐の本質的な現象です。

この分岐は「フォールド分岐（fold bifurcation）」とも呼ばれます。その名前は、パラメータと固定点の関係を図示した「分岐図」が、折れ曲がった（フォールドした）ような形状を示すことに由来しています。特に1次元の離散力学系においては、「接線分岐（tangent bifurcation）」とも呼ばれることがあります。これは、写像のグラフが特定の直線にちょうど接する形で固定点が生成・消滅することにちなんでいます。

特徴と発生条件

サドルノード分岐は、1次元以上の多様体上で定義される力学系で発生し得ます。たとえ高次元の系でこの分岐が生じたとしても、その質的な変化は中心多様体と呼ばれる特定の1次元部分空間上に局所化されることが知られており、解析上は1次元力学系に帰着させることが可能です。

この分岐は、固定点が非双曲型となる点で発生します。連続力学系の場合、分岐点におけるヤコビ行列が固有値ゼロを一つ持ちます。固有値ゼロを持つ分岐は「ゼロ固有値分岐」と呼ばれ、サドルノード分岐はその代表的な例です。離散力学系の場合、分岐点におけるヤコビ行列が固有値１を一つ持ちます。

一般的な1次元連続力学系 $dx/dt = f(x, \mu)$ がパラメータ $\mu = \mu_c$ で固定点 $x = x^$ においてサドルノード分岐を起こすためには、分岐点 $(x^, \mu_c)$ において、$f(x^, \mu_c) = 0$ かつ、以下の条件を満たす必要があります。

- $\\frac{\\partial f}{\\partial x}}(x^, \mu_c) = 0$
- $\\frac{\\partial f}{\\partial \mu}}(x^, \mu_c)

eq 0$

- $\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2}}(x^, \mu_c)

eq 0$

離散力学系 $x_{n+1} = f(x_n, \mu)$ の場合も同様に、固定点 $x^$ で $f(x^, \mu_c) = x^$ かつ以下の条件を満たすときにサドルノード分岐が発生します。

- $\\frac{\\partial f}{\\partial x}}(x^, \mu_c) = 1$
- $\\frac{\\partial f}{\\partial \mu}}(x^, \mu_c)

eq 0$

- $\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2}}(x^, \mu_c)

eq 0$

これらの条件を満たす系は、分岐点近傍において、後述する標準形に近い形に変換できることが知られています。

標準形

サドルノード分岐の振る舞いを最も単純な形で捉えた標準形は、連続力学系では1次元常微分方程式として $dx/dt = \mu \pm x^2$ で表されます。符号が負の場合はスーパークリティカル（超臨界）分岐、正の場合はサブクリティカル（亜臨界）分岐と呼ばれます。ここでは例えば負符号の場合を見ると、パラメータ $\mu < 0$ では固定点はありません。$\mu = 0$ になると、固定点 $x=0$ がただ一つ出現します。$\mu > 0$ となると、この固定点は $x = \pm \sqrt{\mu}$ の二つに分かれます。この二つの固定点のうち、$x = \sqrt{\mu}$ は不安定固定点、$x = -\sqrt{\mu}$ は安定固定点となります。

離散力学系における標準形は、1次元写像として $x_{n+1} = x_n + \mu \pm x_n^2$ で与えられます。こちらも連続系と同様に、パラメータ $\mu < 0$ では固定点がなく、$\mu = 0$ で $x=0$ に固定点が一つ現れ、$\mu > 0$ で $x = \pm \sqrt{\mu}$ の二つの固定点に分かれます。$\\mu$ が十分小さい範囲では、一方（例えば符号が負の場合の $x = -\sqrt{\mu}$）が安定、他方（$x = \sqrt{\mu}$）が不安定となります。

応用例

サドルノード分岐は、様々な分野で出現します。例えば、連続力学系では $dx/dt = \mu + x - e^x$ という方程式が特定のパラメータ値でこの分岐を示します。また、離散力学系では $x_{n+1} = \mu e^{x_n}$ という写像もサドルノード分岐の例として挙げられます。さらに、連続力学系の周期的な振る舞いを調べる際に用いられるポアンカレ写像は、元の連続系よりも次元が一つ低い離散力学系となりますが、このポアンカレ写像がサドルノード分岐を起こす場合、元の連続系では安定な周期軌道と不安定な周期軌道が衝突・消滅する現象として観測されます。

サドルノード分岐は、系のパラメータが微小に変化しても分岐の質的な性質が変わらない「構造安定性」を持つという重要な特徴があります。特に、1次元の連続力学系においては、最も普遍的に現れるタイプの分岐であると言えます。固定点の生成・消滅という基本的なメカニズムを理解する上で、サドルノード分岐は非常に重要な概念です。

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