分布定数回路

分布定数回路とは

分布定数回路は、電気回路の一種であり、回路素子が有限の個数で集中することなく、無限に分布しているとみなせる回路を指します。この概念は、特に高周波の交流信号がケーブルのような一様な形状を持つ導体を伝播する際に、その振る舞いを正確にモデル化するために用いられます。

集中定数回路との違い

対照的に、集中定数回路は、回路素子（抵抗、コンデンサ、インダクタなど）が特定の場所に集中していると仮定します。これは、低周波の信号を取り扱う際に有効なモデルです。

分布定数回路が適用される状況

分布定数回路は、ケーブルの長さに対して信号の波長が十分に短く、ケーブル全体にわたって電圧や電流の分布が一様でない場合に必要となります。これは、特に高周波信号を扱う際に顕著になります。

具体例

代表的な例としては、平行二線線路や同軸ケーブルが挙げられます。これらの線路は、長さ方向に抵抗成分と誘導成分が分布しており、導体間には容量成分と絶縁抵抗が存在します。直流や低周波の信号では、これらの影響は無視できますが、高周波になると、これらの要素が信号の伝播に大きな影響を与えるため、分布定数回路としての扱いが必要になります。

周波数と回路のサイズ

ここで言う「高い周波数」とは、信号の周波数と回路のサイズによって相対的に決まります。一般的には、回路のサイズが信号の波長の1/4程度になると、分布定数回路としての取り扱いが必要になります。

例えば、商用電源の送電網のように、低周波を扱う場合でも、線路長が数キロメートルに及ぶような場合には、分布定数回路として解析する必要があります。

高周波回路における分布定数回路

低周波回路では、インダクタやコンデンサ、抵抗などの個別部品を用いてフィルタを構成しますが、超高周波回路では配線自体の誘導性、容量性、抵抗性が顕著になるため、配線だけでフィルタを構成することが可能です。

設計上の考慮事項

分布定数回路の設計では、信号の伝播に伴う位相遅れ、反射係数、減衰率、周波数余裕などを考慮する必要があります。また、配線間の容量や信号透過率も重要となるため、高度な設計技術が求められます。

回路方程式と諸特性

伝送線路の回路モデル

分布定数回路をモデル化する際には、以下の要素が用いられます。

R: 単位長さあたりの抵抗成分
L: 単位長さあたりのインダクタンス成分
G: 単位長さあたりの導体間のコンダクタンス成分
C: 単位長さあたりの導体間の容量成分

分布定数線路の基本方程式

分布定数回路の基本的な関係は、以下の2つの式で表されます。

math
\frac{\partial V(x,t)}{\partial x} = -RI(x,t) - L\frac{\partial I(x,t)}{\partial t}
\frac{\partial I(x,t)}{\partial x} = -GV(x,t) - C\frac{\partial V(x,t)}{\partial t}

これらの式をさらに微分することで、以下の電信方程式が得られます。

math
\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = LC\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial t^2} + (RC+LG)\frac{\partial V(x,t)}{\partial t} + RG V(x,t)
\frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial x^2} = LC\frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial t^2} + (RC+LG)\frac{\partial I(x,t)}{\partial t} + RG I(x,t)

定常解と伝播定数、特性インピーダンス

正弦波交流電源を印加した時の定常解は、伝播定数γと特性インピーダンスZ0を用いて表されます。

math
V(x) = K_1 e^{-\gamma x} + K_2 e^{\gamma x}
I(x) = \frac{1}{Z_0} (K_1 e^{-\gamma x} - K_2 e^{\gamma x})

ここで、伝播定数γと特性インピーダンスZ0は、以下の式で表されます。

math
\gamma = \sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)}
Z_0 = \sqrt{\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}}

伝播定数γは、減衰定数αと位相定数βに分けられます。

math
\gamma = \alpha + j\beta

特性インピーダンスZ0は、実部R0と虚部X0に分けられます。

math
Z_0 = R_0 + jX_0

特殊な線路

無損失線路

伝送線路に損失がない場合、RとGは0となり、伝播定数と特性インピーダンスは以下のようになります。

math
\gamma = j\omega \sqrt{LC}
Z_0 = \sqrt{\frac{L}{C}}

無ひずみ線路

以下の条件を満たすとき、無ひずみ線路となります。

math
\frac{R}{L} = \frac{G}{C}

この場合、伝播定数と特性インピーダンスは以下のようになります。

math
\gamma = \sqrt{RG} + j\omega \sqrt{LC}
Z_0 = \sqrt{\frac{L}{C}}

反射と透過

反射現象

伝送線路の特性インピーダンスと終端のインピーダンスが異なる場合、反射波が発生します。反射係数は、入射波と反射波の比で表されます。

math
\rho_x = \frac{V_{r(x)}}{V_{i(x)}}

終端における反射係数は以下です。

math
\rho_{(l)} = \frac{Z_l - Z_0}{Z_l + Z_0}

終端が開放の場合（Zl = ∞）: ρ(l) = 1
終端が短絡の場合（Zl = 0）: ρ(l) = -1
終端が特性インピーダンスと等しい場合（Zl = Z0）: ρ(l) = 0

透過現象

伝送線路のインピーダンスが変化する点では、反射と透過の両方が起こります。透過波は、異なるインピーダンスの線路を通過する波です。電圧透過係数と電流透過係数は、それぞれ以下のようになります。

math
\frac{V_t}{V_i} = \frac{2Z_2}{Z_1+Z_2}
\frac{I_t}{I_i} = \frac{2Z_1}{Z_1+Z_2}

定在波

伝送線路に入射波と反射波が両方存在すると、干渉によって定在波が発生します。電圧の振幅の最大値と最小値の比は、定在波比と呼ばれます。

math
\sigma = \frac{V_{max}}{V_{min}} = \frac{1+|
ho|}{1-|
ho|}

外部リンク

1. 分布定数回路とは何か

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